RELAZIONI E FUNZIONI Vogliamo calcolare la lunghezza della linea che unisce A e B. Il segmento AB è inizialmente lungo 1. A B 4 Dopo una prima suddivisione la lunghezza della linea che congiunge A e B è __ 3 _1_ (è formata da 4 segmenti lunghi 3). A B Ripetuta l operazione di suddivisione per ogni segmento, la nuova linea che va 4 4 2 da A a B è __ della precedente: è cioè lunga (__) . 3 3 A B 4 Ogni volta che si ripete l operazione, abbiamo una nuova linea che è i __ della 3 precedente. Costruiamo così una successione numerica formata dalle lunghezze delle linee via via ottenute: 1 _4_ 3 _4_ 2 (3) _4_ 3 (3) _4_ 4 (3) ... _4_ n (3) ... Le lunghezze formano una progressione geometrica di primo termine 1 e di ra4 gione d = __ > 1, quindi, divergente. 3 La linea di contorno dell isola di Koch è detta curva di Koch. La sua lunghezza, cioè il perimetro dell isola, è 3 volte quella della linea che unisce A a B: inizialmente è 3; 4 dopo una suddivisione è 3 __ = 4; 3 4 2 dopo due suddivisioni è 3 __ (3) ; 4 n dopo n suddivisioni è 3 __ (3) ; all aumentare di n diventa sempre più grande. Quindi, supponendo di ripetere la suddivisione all infinito, riscontriamo che la curva di Koch ha lunghezza infinita, ma racchiude una regione di area finita. Vediamo il motivo di quest ultima caratteristica. Sia A1 l area triangolo equilatero ABC (fig. a.). Aggiungendo al terzo centrale di ogni lato un altro triangolo di lato pari a un terzo di quello precedente, aumentiamo l area A1 con quella di tre triangoli di 1 area uguale a __ della precedente. 9 A L area della figura ottenuta è (fig. b.): A 2 = A 1 + 3 ___1 9 194