5 Potenze in R e crescite esponenziali i casi in cui | a | = 1 rappresentano una successione esponenziale in senso improprio, infatti: se a = 1, i termini sono costantemente uguali a 1; se a = 1 sono invece alternativamente uguali a 1 e a 1. In entrambi i casi, pur avendo una espressione in forma esponenziale, non abbiamo né crescita, né decrescita. Q ATTENZIONE! A E Escludiamo il caso in cui a = 0. La successione sarebbe in tal caso definibile solo in N0, poiché non esiste la potenza 00, e tutti i suoi termini sarebbero uguali a 0. Una successione esponenziale può, quindi, divergere o convergere a 0 e rappresentare così una crescita o una decrescita. Le crescite o le decrescite esponenziali sono tipiche di fenomeni in cui una caratteristica, o il numero di dati osservati, aumenta o si approssima a 0 con grande rapidità. esempi O Con osservazioni quotidiane esaminiamo la crescita di un insieme di cellule che si riproducono, ciascuna scindendosi in due nuove cellule complete, nell arco di un giorno. A partire da una cellula vogliamo sapere quante se ne formeranno nell arco di più giorni. Le rilevazioni che facciamo sono quotidiane: interessa rappresentare la situazione dopo 1, 2, 3, n giorni e, per questo, utilizziamo un modello discreto. A partire dal giorno iniziale, che indichiamo con 0 (in cui abbiamo una cellula), rappresentiamo la situazione con un grafo ad albero binario: da ogni suo nodo si diramano due nuovi rami. Il numero dei nodi forma una successione esponenziale: sono le potenze di 2. A livello 0, c è un solo nodo, la radice (la cellula iniziale); al livello 1 (una prima riproduzione della cellula) ci sono due nodi; al livello n i nodi dell albero, e quindi le cellule, sono 2n. Il numero di cellule costituisce una successione esponenziale, quella delle potenze di 2: giorno 2giorno 0 1 2 3 4 O Un modello semplificato per descrivere la fissione nucleare è il seguente. Consideriamo l uranio U235 e immaginiamo di colpire il nucleo con un neutrone; il neutrone non possiede carica elettrica ed è, quindi, in grado di penetrare nel nucleo senza dover superare forze elettriche repulsive. Nell urto il nucleo si scinde in nuclei più leggeri e in tale processo, detto «di fissione si sviluppa energia. Nell urto si producono in media tre neutroni che, in particolari condizioni, possono colpire un altro nucleo, innescando così una reazione a catena. Il fenomeno di scissione e produzione di neutroni non avviene con continuità, ma in corrispondenza degli urti: è, quindi, analizzabile con un modello discreto che evidenzia i vari «stati di evoluzione della situazione (cioè i successivi urti, con produzione di neutroni). In questa approssimazione di fissione nucleare, la reazione a catena può allora essere rappresentata da un grafo ad albero ternario, in cui da ogni nodo si diramano tre nuovi rami. Un nucleo colpito (la radice) provoca la fissione di altri tre nuclei (tre nodi del livello successivo) e ciascuno di essi quella di altri tre, e così via. 221