RELAZIONI E FUNZIONI ___ n m b n , con _ Q: bm n _m_ _m_ esponente razionale: la potenza b n è definita m per ogni esponente razionale __ solo se la base n m reale b è positiva. Infatti se __ è intero, n m occorre escludere i casi precedenti; se __ non n ___ n è intero, la radice bm non esiste nell insieme R se n è pari e bm è negativo. Per estendere la definizione di potenza e considerare come esponente un numero reale qualsiasi dobbiamo, quindi, mantenere la limitazione che la base b sia un numero reale positivo. Poiché definiamo un numero irrazionale attraverso le sue approssimazioni razionali, per eccesso e per difetto, possiamo dare significato anche al simbolo bx, con b > 0 e x numero irrazionale, considerando le potenze (a esponente razionale) aventi per rispettivi esponenti i numeri razionali che approssimano x. Otteniamo due successioni, una delle approssimazioni per difetto, l altra per eccesso, che individuano un numero irrazionale che definiamo come bx. _ Per esempio, ricordando che 2 è un numero irrazionale compreso tra le seguenti successioni di numeri decimali: 1 1,4 1,41 1,414 1,4142 2 1,5 _ 1,42 1,415 1,4143 2 per calcolare 3 costruiamo le due successioni: 31 31,4 31,41 31,414 31,4142 2 1,5 1,42 1,415 1,4143 3 3 3 3 3 _ 2 Queste due successioni individuano il numero 3 . esempio O Calcola 2 . Consideriamo la successione delle approssimazioni (per difetto) di : 3 3,1 3,14 3,141 3,1415 e la successione di potenze a esponente razionale: 23 = 8 31 ___ 2 10 8,574 314 ____ 157 ____ 2 100 = 2 50 8,8152 3141 _____ 2 1000 8,8214 PROVA_ TU P Calcola 2 3 . FISSA I CONCETTI La potenza b r, con base ed esponente reali, è definita per ogni b reale positivo. A essa si estendono le usuali proprietà delle potenze. 224 31 415 _____ 6283 _____ 2 10 000 = 2 2000 8,8244 La successione converge a 2 . così definita in ogni caso la potenza a esponente reale di un numero reale positivo. A essa si estendono le usuali proprietà delle potenze, stabilite inizialmente per le potenze a esponente naturale e successivamente estese agli altri casi.