RELAZIONI E FUNZIONI Poiché, come abbiamo visto, logb b = 1 anche ln e = 1. Nelle calcolatrici trovi un tasto, indicato con ln, che calcola il logaritmo naturale del numero dato. esempio O Determina il rapporto tra i valori di ln x e di log x (cioè tra il logaritmo naturale e il logaritmo decimale di un numero). Per il teorema del cambiamento di base, abbiamo: ln x ____ = ln 10 2,30... log x Possiamo così calcolare: 1 1 log e = ln e ____ ___ 0,43 ln 10 2,3 1 1 ln 10 = log 10 ____ ____ 2,3 log e 0,43 Il numero ora introdotto come base dei logaritmi naturali è indicato con e dall iniziale del matematico Leonhard Euler (1707-1783) che, circa un secolo dopo John Napier, ne studiò proprietà e caratteristiche dimostrando che si tratta di un numero irrazionale. Fu quest ultimo matematico a individuare una particolare proprietà della funzione y = expe(x) analizzando e rappresentando graficamente le sue variazioni (cioè i cambiamenti dei valori di y quando si assegnano a x, i successivi valori 1, 2, 3, ). FISSA I CONCETTI Q Q Numero (irrazionale) e: 2,7182818... Logaritmo naturale: lnx logex La proprietà è nel fatto che il grafico della funzione y = expe(x) e quello delle sue variazioni coincidono. Egli osservò innanzitutto che il grafico delle variazioni di una funzione esponenziale ha anch esso un andamento esponenziale. Osservò inoltre che se la funzione esponenziale ha base 2, il grafico delle sue variazioni, pur avendo anch esso andamento esponenziale, si mantiene al di sotto di quello della funzione stessa, mentre se ha base 3, se ne mantiene al di sopra. Da qui l esistenza di un numero compreso tra 2 e 3 tale che la funzione esponenziale che lo ha come base ha il proprio grafico coincidente con quello delle sue variazioni: è appunto il numero e (puoi trovare l analisi più dettagliata di questa importante proprietà negli Approfondimenti online). Approfondisci Una caratteristica della funzione y = ex APPROFONDIMENTO A Il nome logaritmo proviene dalla fusione delle due parole logos (ragione, proporzione) e arithmòs (numero) identificando, così, il logaritmo come «il numero (l esponente) della ragione (la base) in una progressione geometrica. 274 L uso dei logaritmi nei calcoli Possiamo considerare il termine logaritmo sinonimo di esponente: determinare il logaritmo (in base b) di un numero x significa infatti trovare quell esponente y tale che by = x. Il logaritmo è una funzione che agisce come un potente trasformatore che muta formule e calcoli basati sulla moltiplicazione in altre formule e calcoli basati sull addizione, così come formule e calcoli basati sulla divisione in altre formule e calcoli basati sulla sottrazione e riportando espressioni con potenze a espressioni moltiplicative. I logaritmi, attraverso le loro proprietà, sono, quindi, utilizzati per ridurre la complessità di un calcolo.