6 Logaritmi Il logaritmo di un prodotto Osserviamo innanzitutto che la funzione esponenziale (qualunque sia la base positiva e diversa da 1) è una corrispondenza biunivoca tra R e R+: a ogni numero reale corrisponde un numero reale positivo e viceversa. Ciò significa che qualsiasi numero reale positivo a può essere espresso univocamente come potenza di 10 di un opportuno esponente h: a = 10h. Analogamente, può essere espresso come potenza di una qualunque altra base positiva e diversa da 1; in particolare, in base e: a = ek. TEOREMA (logaritmo del prodotto) Qualunque sia la base del logaritmo, per ogni m, n R+, vale la relazione: logb(m n) = logb m + logb n Dimostrazione Dimostriamo il teorema in base 10. Dati due numeri reali positivi m e n, è possibile trovare h e k tali che m = 10h e n = 10k. Allora: log(m n) = log(10h 10k) = log(10h + k) = h + k log m + log n = log(10h) + log(10k) = h + k Dalle due uguaglianze si ricava la tesi. La dimostrazione è identica, se prendiamo in considerazione una base diversa da 10. c.v.d. esempio O Verifica nelle seguenti uguaglianze il teorema del logaritmo del prodotto. a. log2 128 = 7 d. log _1 64 = 6 2 b. log2 16 = 4 8 2_ _ e. log =3 c. log2 8 = 3 3 27 a. log2 128 = log2(16 8) = log2 16 + log2 8 = 4 + 3 = 7 b. log2 16 = log2(2 8) = log2 2 + log2 8 = 1 + 3 = 4 c. log2 8 = log2(4 2) = log2 4 + log2 2 = log2(2 2) + log2 2 = = log2 2 + log2 2 + log2 2 = 1 + 1 + 1 = 3 d. log _1 64 = log _1 (16 4) = log _1 16 + log _1 4 = 4 2 = 6 2 2 2 2 8 2 2 2 2 2 2 _ _ _ _ _ e. log _2 = log _2 ( ) = log _2 + log _2 _ + log _2 _ = 1 + 1 + 1 = 3 3 27 3 3 3 3 33 33 33 Il logaritmo di un quoziente Analogamente possiamo dimostrare il seguente teorema del quoziente di logaritmi. TEOREMA (logaritmo del quoziente) Qualunque sia la base del logaritmo, per ogni m, n R+, vale la relazione: m logb __ = logb m logb n n 275