6 Logaritmi Otteniamo, applicando le proprietà dei logaritmi (in base 10): log x log(3 x) = 1 x log _____ = 1 3 x x _____ = 10 3 x 30 x = 30 10x 11x = 30 x = ___ 11 La soluzione è accettabile, perché compresa nell intervallo di definizione dell equazione. esempio O Individua l insieme di definizione e le eventuali soluzioni di ognuna delle seguenti equazioni logaritmiche: a. log(2x + 3) = 1 log(x + 5) _ b. log x = log( x) Rispondiamo, trovando prima l insieme di definizione e poi riconducendo l equazione data a una equazione polinomiale a essa equivalente. 3 x > _ 2x + 3 > 0 a. { 2 x+5>0 { x > 5 PROVA TU P x 2 llog 2 (1 x) = 2 + log 2(1 _) 2 3 L equazione è definita per x > __, cioè nell intervallo reale illimitato 2 _3_ ( 2 ; + ). log (2x + 3) + log (x + 5) = 1 log ((2x + 3)(x + 5)) = 1 2 x2 + 13x + 15 = 10 log(2 x2 + 13x + 15) = log 10 _ 13 129 2 x2 + 13x + 5 = 0 x = ___________. 4 3 Tra le due soluzioni, quella che verifica la condizione x > _ è _ 2 13 + 129 x = ___________ che è, dunque, la soluzione cercata. 4 _ b. x > 0 { x > 0 x>0 { x<0 L equazione non è mai definita: non ha soluzioni. FISSA I CONCETTI Q Q Equazione logaritmica: l incognita x è argomento della funzione logaritmica. Una soluzione è accettabile se, per tale valore, l argomento del logaritmo è maggiore di zero. La procedura generale Una equazione logaritmica si risolve applicando le proprietà dei logaritmi e, successivamente, considerando la funzione inversa. Per questo, cerchiamo di riportarla (almeno nei casi più semplici, che sono anche i più frequenti) a una di queste forme: a. log f(x) = k (con k R) in modo tale che si possa scrivere l equazione equivalente f(x) = 10k; b. log f(x) = log h(x) in modo tale che si possa scrivere l equazione equivalente f(x) = h(x) 283