RELAZIONI E FUNZIONI Le equazioni esponenziali in cui compaiono addizioni Quando nelle due parti di una equazione esponenziale compaiono delle addizioni, le cose si fanno più complicate. Infatti, mentre il passaggio ai logaritmi permette di trasformare una scrittura moltiplicativa in una scrittura additiva, nessuna trasformazione è a priori possibile se già in partenza l equazione esponenziale presenta delle addizioni. Per esempio, in una equazione pur apparentemente semplice come la seguente: 2 x + 3x = 4 x non possiamo effettuare elementari trasformazioni che permettano di risolverla. In questi casi particolari l esperienza può suggerire alcuni trucchi o sostituzioni che semplificano la situazione. Esaminiamone un esempio. Risolviamo l equazione: 3x 3x 1 = 2x La riscriviamo così: 3x 3x _ = 2x 3 _2_ 3x = 2x 3 2 ln(__ 3x) = ln 2x 3 2 ln __ + xln 3 = xln 2 3 2 xln 3 xln 2 = ln __ 3 2 xln 2 xln 3 = ln __ 3 2 x(ln 2 ln 3) = ln __ 3 2 _ ln ln 2 ln 3 3 x = ___________ = ___________ = 1 ln 2 ln 3 ln 2 ln 3 esempio O Risolvi in R l equazione: 4 25 _ 3 7x + 2 = 49 7x _ 5x 3 FISSA I CONCETTI Equazione esponenziale del tipo: af(x) = bg(x) si risolve passando al logaritmo e ponendo: f(x)ln a = g(x)ln b 290 5x 1 Distinguiamo le potenze di base 5 da quelle di base 7: 4 53 x + 52 (x 1) = 3 7x + 2 + 72 7x 4 53 x + 53 x = 3 7x + 2 + 72 + x 53 x(4 + 1) = 7x(3 72 + 72) 5 53 x = 196 7x 54 x = 196 7x (4 x)ln 5 = ln 196 + ln 7x 4ln 5 xln 5 = xln 7 + ln 196 xln 7 + xln 5 = 4ln 5 ln 196 x(ln 7 + ln 5) = 4ln 5 ln 196 4ln 5 ln 196 x = ___________ 0,33 ln 5 + ln 7