GEOMETRIA Esercizi da pag. 362 1 La definizione dello spazio euclideo tridimensionale KEYWORDS K sp spazio euclideo tridimensionale / three-dimensional Euclidean space Il piano euclideo è definito da alcuni assiomi, che stabiliscono le relazioni tra gli oggetti che a esso appartengono: i punti e le rette. Vogliamo ora costruire un modello matematico per lo spazio fisico tridimensionale. Come nel caso del piano, occorre fare una distinzione tra il modello matematico che costruiamo (lo spazio euclideo tridimensionale) e l effettivo spazio fisico. Quest ultimo, infatti, presenta caratteristiche concrete che nella teoria geometrica non vengono prese in considerazione: la presenza o meno di materia (l aria, l acqua), la direzione che chiamiamo orizzontale identificata perché un corpo, lasciato cadere, si muove lungo la verticale a essa perpendicolare, la retta lungo la quale si dispone un filo a piombo. Lo spazio euclideo, invece, è costituito da oggetti ideali diversi da quelli della realtà fisica: punti senza dimensione, rette perfettamente parallele, piani di spessore nullo ecc. Come per il piano, anche per lo spazio geometrico euclideo dobbiamo stabilire in modo assiomatico le relazioni reciproche tra i suoi oggetti fondamentali: i punti, le rette e i piani e, poiché le proprietà dello spazio sono in parte diverse da quelle del piano, occorre modificare gli assiomi che caratterizzano il piano euclideo. L assioma del piano euclideo viene così riformulato. FISSA I CONCETTI Assioma: lo spazio euclideo è un insieme infinito di elementi (i punti); contiene sottoinsiemi propri e infiniti (i piani). In ogni piano valgono gli assiomi del piano euclideo. ASSIOMA (spazio euclideo) Lo spazio euclideo è un insieme infinito di elementi, detti punti. Esso contiene sottoinsiemi propri e infiniti, detti piani. Ogni piano contiene sottoinsiemi propri e infiniti detti rette e per ciascun piano valgono gli assiomi del piano euclideo. Gli assiomi di incidenza tra punti, rette e piani Poiché ogni piano è un piano euclideo, tutti i teoremi, le definizioni e le relazioni studiati nella geometria piana valgono per ognuno dei piani di questo più ampio modello tridimensionale. Con questa avvertenza, stabiliamo, con degli assiomi di incidenza, le reciproche relazioni tra punti, rette e piani. ASSIOMA (punti-rette) Ogni punto appartiene a infinite rette dello spazio. DEFINIZIONE L insieme di tutte le infinite rette passanti per un punto è detto stella di rette. ASSIOMA (punti-piani) Ogni punto appartiene a infiniti piani. 318
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