7 Geometria dello spazio DEFINIZIONE L insieme di tutti gli infiniti piani passanti per il medesimo punto è detto stella di piani. ASSIOMA (rette-piani) Ogni retta dello spazio giace su infiniti piani. DEFINIZIONE L insieme degli infiniti piani passanti per la medesima retta è detto fascio (proprio) di piani; la retta comune a tutti i piani è detta asse del fascio. Quando una retta è sottoinsieme di un piano diciamo anche che la retta giace su di esso. Inoltre, poiché possiamo anche definire il piano come insieme di rette (anziché di punti), possiamo dire che una retta appartiene a un piano. Alla luce di ciò imponiamo, con un unico assioma, alcune relazioni di incidenza che riguardano simultaneamente i punti, le rette e i piani. ASSIOMA (punti-rette-piani) a. Tre punti distinti che non appartengono alla stessa retta appartengono a un solo piano. Diciamo che il piano è individuato da tre punti non allineati (fig. a.). b. Una retta e un punto (che non le appartiene) individuano un piano (fig. b.). c. Due rette incidenti individuano un piano (fig. c.). d. Due piani distinti con un punto in comune individuano una retta, la loro retta intersezione (fig. d.). Un piano viene generalmente indicato con una lettera greca ( , , ...) oppure con i simboli degli elementi che lo individuano: per esempio tre punti non allineati (ABC, PQR, ...). Sottolineiamo che gli assiomi fin qui posti riguardano proprietà di incidenza tra gli oggetti dello spazio: stabiliscono se e come punti, rette e piani si intersecano o si appartengono vicendevolmente. Si tratta cioè di relazioni geometriche pure, che non fanno riferimento ad alcuna considerazione relativa alla distanza. In ipotesi, esse sussisterebbero anche se non fossero stati mai introdotti altri numeri che i naturali. a. b. c. esempio O Quali tra le seguenti osservazioni sono di tipo geometrico puro e potrebbero quindi essere fatte anche in un mondo senza numeri? a. «Io sto alla tua sinistra . b. «A è più vicino a B di quanto non sia C . c. «A è all interno di una superficie chiusa . d. Solo la frase b. implica un concetto di «distanza : poiché la distanza è un numero reale, tale osservazione non potrebbe essere verificata in un mondo senza numeri. Introduciamo infine un ulteriore assioma, anch esso indipendente da qualunque considerazione relativa alla distanza tra punti, che estende allo spazio tridimensionale le proprietà di «bipartizione che hanno gli oggetti fondamentali della geometria. 319