GEOMETRIA Sappiamo, infatti, dagli assiomi nel piano euclideo che: Q un punto divide la retta in due parti disgiunte, le semirette; Q una retta divide il piano in due parti disgiunte, i semipiani. KEYWORDS K ssemispazio / half space Stabiliamo ora che ogni piano divide lo spazio tridimensionale in due parti disgiunte. Più precisamente: ASSIOMA (bipartizione) Q P P Q FISSA I CONCETTI Q Q Q Q Q Assioma (punti-rette): ogni punto appartiene a infinite rette dello spazio (stella di rette). Assioma (punti-piani): ogni punto appartiene a infiniti piani (stella di piani). Assioma (rette-piani): ogni retta dello spazio giace su infiniti piani (fascio proprio di piani). Assioma (punti-rette-piani): a) Per tre punti non allineati passa un solo piano. b) Per una retta e un punto (che non le appartiene) passa un solo piano. c) Due rette (distinte) con un punto in comune individuano un piano. d) Due piani distinti con un punto in comune individuano una retta. Assioma (bipartizione): ogni piano determina due semispazi disgiunti. Ogni piano divide lo spazio in due insiemi infiniti e disgiunti, detti semispazi aperti, tali che, per ogni coppia di punti P e Q non appartenenti ad , abbiamo uno dei due casi seguenti: I. il segmento PQ non interseca il piano (diciamo allora che P e Q sono dalla stessa parte rispetto ad ); II. il segmento PQ interseca il piano (diciamo allora che P e Q sono da parti opposte rispetto ad ). Da questo assioma discende che se una retta interseca un piano in un solo punto, allora la retta viene divisa da questo punto in due semirette, che si trovano sui due semispazi opposti rispetto al piano stesso. esempio O Sappiamo che due punti distinti, P e Q, di una retta s appartengono al piano . possibile che qualche punto di s non appartenga ad ? E perché? Non è possibile, perché il piano è un piano euclideo: la coppia di punti distinti P e Q appartiene quindi a una sola retta (assioma punti-piani) e tale retta è un sottoinsieme del piano (assioma punti-rette). Affinché una retta giaccia su un piano è perciò sufficiente che due punti della retta stessa appartengano al piano. APPROFONDIMENTO A N Nello studio delle relazioni spaziali, si assumono punti di vista diversi, che danno luogo a diverse geometrie. Così, la geometria affine studia le proprietà di incidenza (di appartenenza, di intersezione e di parallelismo) e quelle di ordinamento. La geometria metrica considera anche le relazioni e le proprietà legate alle misure dei segmenti e degli angoli. Alcune relazioni, quale quella di «parallelismo , sono tipiche della geometria affine perché utilizzano soltanto la relazione di incidenza; altre, quale quella di «perpendicolarità , sono tipiche della geometria metrica perché utilizzano l ampiezza degli angoli (in particolare il concetto di angolo retto). 2 L incidenza Esercizi da pag. 363 e il parallelismo nello spazio euclideo Sulla base degli assiomi posti, vogliamo ora analizzare le proprietà d incidenza tra le tre coppie di oggetti dello spazio euclideo tridimensionale: rette-rette, rettepiani, piani-piani. 320