7 Geometria dello spazio Il seguente teorema ci permette di enunciare e dimostrare quanto accennato nell esempio precedente. TEOREMA (fascio di rette parallele) r Se una retta r è parallela a un piano , ogni piano passante per r e per un punto P di ha come intersezione su una retta s parallela a r. P Dimostrazione Sul piano Pr la retta s non può avere intersezione con r, perché per ipotesi r non ha alcun punto in comune con il piano su cui giace s. c.v.d. FISSA I CONCETTI Le posizioni reciproche di due piani nello spazio s Due piani distinti si possono intersecare oppure no: nel primo caso l intersezione è necessariamente una retta (assioma punti-rette-piani d.); se, invece, non si intersecano, allora diciamo che il piano è parallelo al piano . In analogia con la definizione di parallelismo tra rette, stabiliamo quindi che un piano è parallelo a un piano se coincide con oppure se la loro intersezione è vuota: in tal caso scriviamo // . Ogni retta parallela a una retta di un piano è parallela al piano . Se una retta r è parallela a un piano , ogni piano passante per r e per un punto P di ha come intersezione su una retta s parallela a r. TEOREMA (intersezione tra piani) Se un piano interseca altri due piani tra loro paralleli allora tale intersezione è costituita da due rette parallele. Ip: 1. , , sono tre piani 2. // 3. r = e s = Ts: r // s Dimostrazione Consideriamo un piano incidente due piani distinti e , con // . Indichiamo con r e con s. Le rette r e s sono parallele perché: a. sono complanari (in quanto appartengono entrambe a ); a. hanno intersezione vuota (perché e , essendo distinti e paralleli, non hanno punti in comune). c.v.d. s r Enunciamo due caratteristiche importanti della relazione di parallelismo tra piani: TEOREMA (esistenza e unicità del piano parallelo) I. Dato un piano e un punto P che non appartiene al piano, esiste un unico piano passante per P e parallelo ad . II. Dato un piano e una retta r parallela a esso, esiste un unico piano che contiene r ed è parallelo ad . Approfondisci Dimostrazione del teorema (esistenza e unicità del piano parallelo) TEOREMA (piani paralleli) La relazione di parallelismo tra piani è una equivalenza. Dimostrazione Occorre dimostrare le tre proprietà: riflessiva, simmetrica e transitiva. La proprietà riflessiva è immediata perché due piani coincidenti sono per definizione paralleli; ogni piano è quindi parallelo a sé stesso. 323