7 Geometria dello spazio 3 Le rette e i piani Esercizi da pag. 364 perpendicolari La perpendicolarità tra retta e piano Per una retta r passano infiniti piani. Se ora fissiamo un punto P r, esso appartiene a ognuno di questi infiniti piani euclidei: su ognuno di tali piani esiste ed è unica la retta per P perpendicolare a r. Complessivamente, perciò, nello spazio tridimensionale, per un punto di una retta vi sono infinite rette perpendicolari a tale retta. Il teorema che segue garantisce che tutte queste rette sono tra loro complanari. TEOREMA (perpendicolari complanari) Tutte le rette perpendicolari a una retta r in un punto P r appartengono allo stesso piano. ATTENZIONE! A Ri Ricordiamo che nel piano euclideo si dimostra il teorema dell unicità della perpendicolare: dati una retta r e un punto P del piano, esiste una sola retta perpendicolare a r e passante per P. Il teorema vale sia nel caso che P r, sia nel caso che P r. r P Approfondisci Dimostrazione del teorema (perpendicolari complanari) La perpendicolarità è una relazione, inizialmente introdotta nell insieme delle rette del piano, che può essere estesa all insieme delle rette dello spazio perché due rette si considerano perpendicolari se valgono entrambe queste condizioni: a. sono incidenti (e quindi complanari); b. nel piano da esse formato, sono perpendicolari. La nozione di perpendicolarità viene però estesa in questo paragrafo anche a coppie di oggetti di diverso tipo: rette e piani. Per fare ciò dobbiamo far risalire la perpendicolarità tra retta e piano alla relazione originaria di perpendicolarità tra rette. Assume quindi un ruolo centrale il teorema precedente che mostra che tutte le rette perpendicolari a una retta in un suo punto P appartengono allo stesso piano. questo il piano che viene definito come il piano perpendicolare alla retta nel suo punto P. Diamo allora la seguente definizione. DEFINIZIONE Una retta e un piano, con un punto in comune, si dicono tra loro perpendicolari se tutte le rette del piano passanti per quel punto sono perpendicolari alla retta. Per stabilire che una retta r è perpendicolare a un piano non occorre tuttavia considerare tutte le sue rette: perché retta r e piano siano perpendicolari è ne325