7 Geometria dello spazio b. Indichiamo con Q il punto di intersezione tra t e s. Sulla retta t consideriamo due punti R ed S da parti opposte rispetto a s e tali che RQ SQ. Sulla retta r consideriamo un punto T distinto da P e fissiamo quindi l attenzione sui due triangoli TPS e TPR: rT P Q t S s R I due triangoli sono congruenti perché: TP è in comune; R TP S, perché entrambi retti; TP PR PS perché, per costruzione, P appartiene all asse del segmento RS. Ne segue che TR e TS sono congruenti. Allora, nel piano individuato da T e dalla retta t, il punto T deve appartenere all asse del segmento RS; la retta contenente T e Q è perpendicolare alla retta t. Essa, inoltre, appartiene al piano individuato da s ed r. Il piano rs contiene quindi due perpendicolari a t nel punto di incidenza Q. Per il teorema delle perpendicolari complanari, esso è quindi perpendicolare a t. c.v.d. FISSA I CONCETTI Teorema delle tre perpendicolari: se nel piano perpendicolare a una retta r, si conduce una retta t perpendicolare a una retta s che è perpendicolare a r, allora la retta t è perpendicolare al piano rs. L unicità della perpendicolarità retta-piano Abbiamo, finora, enunciato teoremi che garantiscono la perpendicolarità o la complanarità sotto determinate condizioni, ma rimane da analizzare un aspetto fondamentale: l unicità del piano passante per un punto e perpendicolare a una retta e l unicità della retta per un punto e perpendicolare a un piano. Approfondisci TEOREMA (unicità del piano perpendicolare) Dati una retta e un punto, esiste un solo piano passante per tale punto e perpendicolare alla retta data. Dimostrazione del teorema (unicità del piano perpendicolare) Dimostrazione del teorema (unicità della retta perpendicolare) r P TEOREMA (unicità della retta perpendicolare) Dati un piano e un punto, esiste una sola retta passante per tale punto e perpendicolare al piano dato. P FISSA I CONCETTI Dato un punto, esiste per esso un unico piano perpendicolare a una retta data. Dato un punto, esiste per esso un unica retta perpendicolare a un piano dato. 327