GEOMETRIA La distanza punto-piano P Q H La nozione di perpendicolarità tra retta e piano e i teoremi di unicità permettono di ben definire che cosa intendiamo per distanza di un punto da un piano. Infatti, dati un punto P e un piano , possiamo tracciare la retta per P perpendicolare ad . Se P , tale perpendicolare interseca in un punto H, chiamato piede della perpendicolare al piano . DEFINIZIONE Definiamo distanza tra il punto P e il piano , la distanza, sulla retta perpendicolare ad , tra P e il punto H, piede della perpendicolare. ATTENZIONE! A Ri Ricorda che in un triangolo rettangolo un cateto è sempre minore dell ipotenusa. La definizione è ben posta perché già nel piano abbiamo stabilito che per distanza tra due figure (anche di tipo tra loro diverso, come sono i punti e i piani) intendiamo la minima distanza tra due punti qualunque delle figure e la distanza calcolata sulla perpendicolare è la minima tra quelle possibili tra il punto P e un qualunque altro punto del piano. Se infatti consideriamo una retta per P né perpendicolare né parallela al piano (e chiamata perciò obliqua), essa interseca in un punto Q diverso da H; e già sappiamo che, sul piano PHQ, abbiamo: PH < PQ. TEOREMA (parallelismo di piani) Due piani perpendicolari alla stessa retta sono paralleli. FISSA I CONCETTI Q Q Q Q Per piede della perpendicolare di una retta a un piano si intende il punto in cui la retta perpendicolare al piano interseca quest ultimo. Distanza punto-piano: distanza tra il punto e il piede della perpendicolare da questo punto al piano. Dati un punto e un piano, la distanza tra il punto e il piede della perpendicolare è minore della distanza tra il punto e il punto di intersezione tra il piano e una qualunque retta obliqua. Due piani perpendicolari alla stessa retta sono paralleli. Esercizi da pag. 365 Dimostrazione Siano e due piani perpendicolari alla medesima retta r e siano A e B i rispettivi punti di intersezione tra tali piani e la retta. C r A B Se, per assurdo, i due piani non fossero paralleli essi avrebbero almeno un punto C in comune. Nel piano ABC, dal punto C ci sarebbero allora due distinte perpendicolari (AC e BC) alla stessa retta AB e ciò contrasta con il teorema dell unicità della perpendicolare nel piano. I piani sono, dunque, paralleli. c.v.d. 4 I diedri, i triedri, i prismi e gli angoloidi Uno degli obiettivi della geometria del piano è lo studio delle proprietà delle figure piane racchiuse da segmenti, i poligoni; analogamente, nella geometria dello spazio, studiamo le figure solide racchiuse da facce poligonali. A tale scopo consideriamo un oggetto, il diedro, che, come ora vedremo, è definito in modo simile a come nel piano è definito l angolo. 328