GEOMETRIA Immaginiamo allora di sezionare con un piano il solido di cui vogliamo considerare il volume: la sezione è una figura piana. FISSA I CONCETTI Q Q Q Per i poligoni del piano: equiestesi equiscomponibili Per i poliedri: equiscomponibili equiestesi ma non l inverso Un fascio di piani paralleli interseca due solidi in figure equiestese i due solidi sono equiestesi. Immaginiamo poi di far scorrere tale piano parallelamente a sé stesso ottenendo tutte le sezioni, cioè tutti gli strati che compongono il solido. L insieme di tali strati dà intuitivamente l estensione del solido. Con questo procedimento possiamo confrontare l estensione di due solidi: se, infatti, un fascio di piani paralleli, comunque siano inclinati, interseca i due solidi in figure congruenti allora vuol dire che sono entrambi formati da un insieme di strati tra loro congruenti e possiamo dire che sono equiestesi. Questo metodo di confronto tra solidi è detto metodo degli indivisibili ed è dovuto al matematico Bonaventura Cavalieri, allievo di Galilei che lo utilizzò sia per il calcolo delle aree sia per il calcolo dei volumi. Si può esprimerlo così: Principio di Cavalieri Se ogni piano di un fascio di piani paralleli interseca due figure solide in due figure piane equiestese, allora i due solidi sono equiestesi. h esempio A A O Utilizzando il principio di Cavalieri dimostra che un parallelepipedo rettangolo di altezza h e di base un rettangolo di area A è equiesteso a un parallelepipedo rettangolo di altezza h e di base un parallelogramma di area A. I due solidi hanno la stessa altezza (figura a lato). Con una opportuna isometria possono essere posti in modo tale da essere all interno di uno strato formato da due piani paralleli. Questi piani individuano un fascio di piani paralleli: ciascuno di essi, se interseca i due solidi, determina come sezione su uno un rettangolo di area A e sull altro un parallelogramma anch esso di area A. Ogni piano determina, quindi, due figure equiestese e, quindi, in base al principio di Cavalieri i due parallelogrammi sono equiestesi. I protagonisti della matematica Bonaventura Cavalieri (1598 ca.-1647) è stato un matematico italiano nato a Milano e morto a Bologna. Nel 1615 entrò nell ordine dei gesuiti dove ebbe un educazione umanistica e teologica ma alla quale ben presto affiancò lo studio della matematica. Trasferitosi a Pisa nel 1617 fu allievo di padre Benedetto Castelli, il primo ad accorgersi della sua inclinazione per la matematica, e di Galileo Galilei di cui Castelli era a sua volta discepolo. Nel 1620, fatto ritorno a Milano, si dedicò all attività di predicatore senza tuttavia mettere da parte gli studi 350 matematici che gli permetteranno di ottenere, nel 1629, la cattedra di matematica presso l Università di Bologna. La teoria degli indivisibili è sviluppata nella sua opera più importante: Geometria indivisibilibus continuorum quidam nova ratione promota del 1635 in cui applica il suo semplice ed elegante metodo al calcolo di aree e volumi. Oltre a questa opera fondamentale non vanno dimenticati i numerosi lavori di trigonometria e di calcolo logaritmico, oltre a un elegante trattato sulle coniche e sui metodi per costruirle (Specchio ustorio, 1632).
