GEOMETRIA 167 Sono dati due segmenti, rispettivamente di lun- ghezza a e b. Dimostra algebricamente che il cubo di spigolo un segmento lungo (a + b) è equiesteso a un solido composto da: (un cubo di spigolo a) + (un cubo di spigolo b) + (3 parallelepipedi aventi come base un quadrato di lato a e come altezza b) + (3 parallelepipedi aventi come base un quadrato di lato b e come altezza a). 168 Sono dati due segmenti, rispettivamente di lun- ghezza a e b (con a > b). Dimostra algebricamente che il cubo di spigolo un segmento (a b) è equiesteso a un solido così composto: (un cubo di spigolo a) + (3 parallelepipedi aventi come base un quadrato di lato b e come altezza a) (3 parallelepipedi aventi come base un quadrato di lato a e come altezza b) (un cubo di spigolo b). 169 Dimostra che un parallelepipedo è equiesteso al sestuplo di un ottaedro i cui vertici sono i centri delle sue facce. 170 In uno stesso prisma indefinito considera i prismi finiti che si ottengono considerando basi tutte parallele tra loro e spigoli laterali via via crescenti, secondo una progressione geometrica di ragione q. In che rapporto stanno tra loro i volumi di tali [9] prismi finiti? 171 Dato un parallelepipedo, traccia una diagonale per ogni faccia in modo tale che le diagonali considerate su facce parallele non siano parallele e ogni diagonale abbia i due estremi in comune con due diagonali. Tali diagonali sono gli spigoli di un tetraedro, che si dice tetraedro inscritto al parallelepipedo. Quanti sono i tetraedri inscritti a un paral[2; sì] lelepipedo? Sono tra loro equiestesi? esercizio svolto Determina il rapporto dei volumi dei cilindri generati dalle rotazioni di un rettangolo attorno ai suoi lati. D A C D C B A B D C A B ¯2 AD ¯, mentre Il cilindro ottenuto dalla rotazione del rettangolo ABCD attorno al lato AD ha volume V1 = AB 2 ¯ ¯ quello ottenuto dalla rotazione attorno al lato AB ha volume V2 = AD AB . Il rapporto dei volumi è: ¯2 AD ¯ ____ ¯ V1 __________ AB AB ___ = =¯ 2 ¯ ¯ V2 AD AB AD Tale rapporto è uguale al rapporto dei lati del rettangolo. 172 Calcola il volume del solido di rotazione che si ottie- ne dalla rotazione completa di un trapezio isoscele attorno alla propria base maggiore, essendo note le aree delle due basi B e b e l altezza h. [ 2b + B ______ h2 3 ] 173 Quali sono i volumi dei due cilindri che hanno come superficie laterale un foglio rettangolare di dimensioni a e b? Attorno a quale lato conviene arrotolare un foglio per avere un volume maggiore? ab2 a2b ___ ___ [ 4 ; 4 ] 174 Calcola il volume del solido di rotazione che si ottiene dalla rotazione completa di un trapezio isoscele attorno alla propria base minore, essendo note le aree delle due basi B e b e l altezza h. 2B + b 2 ______ [ 3 h ] 372 175 Dimostra che i volumi dei due cilindri che si otten- gono per rotazione completa di uno stesso rettangolo attorno alla sua base e alla sua altezza sono inversamente proporzionali alla base e all altezza. 176 Calcola il volume del solido di rotazione che si ottiene dalla rotazione completa di un triangolo equilatero di lato l attorno a un suo lato. _1_ 3 [4 l ] 177 Determina il raggio di base e l altezza di un cilin- dro di volume a3 e superficie laterale 2 b. a3 __ b2 __ ; [ b a3 ] 178 Determina il rapporto tra i raggi di base di un ci- lindro e un cono equiestesi che abbiano la stessa __ altezza. 3 ___ [ 3 ]