7 179 Dimostra che le aree delle superfici e i volumi dei due solidi di rotazione che si ottengono dalla rotazione completa di un rombo attorno all una o all altra delle sue diagonali sono inversamente proporzionali a tali diagonali. 180 Dimostra che i volumi dei coni che si ottengono dalla rotazione di un triangolo rettangolo attorno all uno o all altro dei suoi cateti sono inversamente proporzionali a tali cateti. 181 Calcola il volume di un tronco di cono i cui raggi di base siano r e r (con r < r) e il cui apotema sia inclinato di 45° rispetto al piano della base maggiore. 3 _ _ 3 [ 3 (r r )] 182 Considera il solido di rotazione che si ottiene dal- la rotazione di un trapezio rettangolo attorno alla sua base minore; se b, B e h sono le misure delle due basi e dell altezza del trapezio qual è il volume di tale solido? Qual è il volume del cono che, composto con tale solido, darebbe luogo a un cilindro? [ Geometria dello spazio ESERCIZI 183 Calcola il volume del tronco di cono i cui raggi di base siano r e r (con r < r) e il cui apotema sia inclinato di 30° rispetto al piano della base maggiore. 3 3 __ [ 6 (r r )] 184 Calcola il volume del tronco di cono i cui raggi di base siano r e r (con r < r) e il cui apotema sia inclinato di 60° rispetto al piano della base mag__ giore. 3 3 3 ____ [ 6 (r r )] 185 Si chiama segmento sferico a una base ognuna delle due parti in cui un piano divide una sfera (il segmento sferico a una base è quindi un solido delimitato da un cerchio e da una calotta); determina il volume di un segmento sferico a una base che abbia altezza h e proveniente da una sfera di raggio r (applica il principio di Cavalieri considerando, in analogia a quanto fatto per determinare il volume della sfera, un cono e un tronco di cono). _1_ 2 [ 3 h (3r h)] 2B + b ______ h2 3 ] ULTERIORI PROBLEMI 186 dato il tetraedro regolare di vertici A, B, C, D e di spigolo s. a. Calcolane il volume. b. Costruisci il piano , passante per D e perpendicolare alla retta dello spigolo AB e calcola l area della sezione S di con il tetraedro e la distanza del punto A dal piano . c. Indicato con E il punto dello spigolo AC tale 2 che AE = __EC, conduci per E il piano paral3 lelo ad e, indicata con S la sezione di con il tetraedro, calcola il volume della piramide avente come vertice A e come base S . d. Chiamati X, Y, Z, T i punti medi degli spigoli AC, BC, BD, AD, dimostra che la figura XYZT è un parallelogramma. e. Dimostra che il parallelogramma XYZT è un quadrato. __ __ 2 3 2 s ___ ___ __ [a. V = 12 s ; b. area = 4 s2; d = 2 ; s3 c. volume (AFGE) = ____] 250 187 Il quadrilatero ABCD ha le diagonali AC e DB tra loro perpendicolari e tali che, detto E il lato punto d intersezione, risulta: 1 DE = EB = 2CE = __ EA = 2 2 Dimostra che i triangoli DEC, DEA e DAC sono tra loro simili. Inscrivi nel quadrilatero ABCD un rettangolo con i lati paralleli alle diagonali di questi e calcola il perimetro del rettangolo quando: a. esso è un quadrato; b. la sua diagonale lo divide in due triangoli simili al triangolo DAC; c. la sua diagonale forma con uno dei suoi lati un angolo di 30°. Calcola quindi il rapporto r dei volumi dei solidi che si ottengono facendo ruotare di un giro completo il quadrilatero dato intorno ai due suoi lati disegnati. 80 ___ 120 ____ [a. 9 ; b. Se QP : QM = AD : DC, perimetro = 13 ; 60 M = 30°, se QP : QM = DC : AD, perimetro = ___; c. Se QP 7 __ 40 P = 30°, perimetro = ___ (7 3 ); se QM 23 __ 40 4 perimetro = ___ ( 3 + 11); r = __] 3 59 373