Complementi Le funzioni cotangente, secante e cosecante In questa unità abbiamo introdotto le funzioni goniometriche y = senx, y = cosx e y = tanx e ne abbiamo studiato proprietà e caratteristiche. A queste funzioni possiamo aggiungerne altre sempre definibili a partire dalla circonferenza goniometrica: ci riferiamo alle funzioni cotangente, secante e cosecante. Vedremo, di seguito, che poiché queste ultime sono legate al seno, al coseno e alla tangente da specifiche relazioni, anche le loro proprietà e caratteristiche sono una diretta conseguenza delle proprietà di quelle funzioni. La funzione cotangente Se, data la circonferenza goniometrica, consideriamo la retta tangente non al punto A(1 ; 0), ma al punto B(0 ; 1) e consideriamo l ascissa del punto C in cui tale retta incontra il lato finale dell angolo x, otteniamo un valore che è chiamato cotangente dell angolo x ed è indicato con cotx. y C B P H O x A x cosx Dimostriamo che (per x 0 + k ) cotx = _. senx Limitiamoci al primo quadrante. Poiché i triangoli OPH e OCB si corrispondono in una omotetia di centro O, abbiamo: BC HP _ _ = OH da cui: OB HP BC = OB _ OH Osserviamo ora che BC = cotx, OB = 1, HP = cosx e OH = senx; quindi: cosx cotx = _ senx Perché la frazione abbia significato deve essere senx 0 e quindi x deve essere diverso da 0, , 2 , Ricordando la definizione di tanx possiamo scrivere: 1 cotx = _ (per x 0 + k , con k Z) tanx Anche per la cotangente costruiamo una tabella di valori in corrispondenza dei valori di x, che variano da 0 a . Osserviamo che per x = 0, o un multiplo di , la cotangente non esiste. 38