GEOMETRIA L equazione generale di un piano In un riferimento Oxyz consideriamo ora un piano , passante per l origine, di equazione: 7x + 8y 2z = 0 al quale applichiamo la traslazione di vettore v = (+1 ; +2 ; +3). Le equazioni della traslazione nello spazio sono: x = x + 1 y = y + 2 {z = z + 3 Da queste ricaviamo: x = x 1; y = y 2; z = z 3 Sostituendo otteniamo l equazione del piano , 7(x 1) + 8(y 2) 2(z 3) = 0 7x + 8y 2z 17 = 0 che, riferita allo stesso riferimento Oxyz, possiamo scrivere: 7x + 8y 2z 17 = 0 Il piano non passa per l origine, infatti, sostituendo le coordinate di O(0 ; 0 ; 0) nell equazione otteniamo la contraddizione 17 = 0. Per determinare l equazione di un piano qualunque, generalizziamo questa procedura. Consideriamo allora un qualunque piano che passi per l origine: ax + by + cz = 0 ed effettuiamo una traslazione, in modo che si trasformi nel piano , parallelo a quello dato e passante per un punto P1(x1 ; y1 ; z1). Le equazioni della traslazione sono: x = x + x 1 y = y + y 1 z = z + z 1 x = x x 1 y = y y 1 { z = z z 1 L equazione del piano , passante per P1(x1 ; y1 ; z1), è allora: a(x x1) + b(y y1) + c(z z1) = 0 ax + by + cz + ( ax1 by1 cz1) = 0 Indicando con d il risultato dell espressione costante tra parentesi, otteniamo l equazione di un generico piano che risulta essere una equazione di primo grado in tre variabili. Riferito al medesimo sistema di riferimento Oxyz il piano ha equazione: ax + by + cz + d = 0 Possiamo anche dimostrare il viceversa ovvero che data una equazione di primo grado in tre variabili, le sue soluzioni sono rappresentate da tutti e soli i punti di un piano. Ciò stabilisce una corrispondenza biunivoca: punti del piano soluzioni di ax + by + cz + d = 0 Per questo possiamo definitivamente dire che l equazione di un piano è una equazione di primo grado in tre variabili. 384