GEOMETRIA esempi O Indica quali, tra le seguenti equazioni, rappresentano piani tra loro paralleli. a. 3x 2y + z 1 = 0 b. 6x 4y + 2z + 3 = 0 c. 3x + 2y z 1 = 0 Le equazioni a. e b. rappresentano piani tra loro paralleli perché è verificata la condizione appena enunciata. Infatti: a _ 3 1 _ = = _; b _ c _ 2 _ 1 1 _ _ = = ; = a 6 2 b 4 2 c 2 Facendo gli stessi calcoli sui coefficienti di altre coppie di equazioni la condizione non è verificata; per esempio, confrontando le equazioni b. e c. ci accorgiamo che la condizione di parallelismo non è verificata: a _ 6 _ = = 2; a 3 b _ 4 _ = = 2 ; b 2 2 c _ _ = = 2 c 1 O Determina l equazione del piano passante per il punto P( 1 ; 0 ; +5) e parallelo al piano 2x y + 3z 4 0. Dovendo il piano essere parallelo a quello dato, i coefficienti a, b, c della sua equazione devono essere proporzionali a quelli dell equazione del piano dato; la sua equazione può perciò essere così scritta: 2x y + 3z + d = 0 Determiniamo d imponendo il passaggio per il punto P. Sostituiamo perciò alle variabili x, y, z le coordinate di P: 2( 1) 0 + 3 5 + d = 0 d = 13 Il piano cercato ha equazione 2x y + 3z 13 = 0. ATTENZIONE! A N Nello spazio tridimensionale abbiamo una situazione analoga a quella che abbiamo nello spazio bidimensionale: come nel piano, data l equazione di una retta ax + by + c = 0, il vettore dei coefficienti delle incognite (a ; b) è perpendicolare a essa; così nello spazio, data l equazione di un piano ax + by + c + d = 0, il vettore dei coefficienti delle incognite (a ; b ; c) è perpendicolare a esso. Già sai che il parallelismo tra piani è una relazione di equivalenza; questo ci permette di considerare l insieme delle classi di equivalenza, a ognuna delle quali appartengono tutti e soli i piani tra loro paralleli: abbiamo già detto che ognuna di queste classi individua una giacitura. I tre coefficienti a, b, c dell equazione di un piano possono a loro volta essere interpretati come le componenti di un vettore dello spazio, g = (a ; b ; c), la cui direzione è strettamente legata al modo in cui è disposto il piano stesso. In effetti, è possibile dimostrare che il vettore g = (a ; b ; c) è un vettore perpendicolare al piano di equazione ax + by + cz + d = 0 e poiché, a meno di un fattore di proporzionalità, tale vettore è comune a tutti i piani tra loro paralleli, esso, da un punto di vista analitico, indica la giacitura di questi piani. g PROVA TU La giacitura con GeoGebra KEYWORDS K gi giacitura di un piano / layout of a plane 386 Il vettore g = (a ; b ; c) è detto vettore giacitura del piano ax + by + cz + d = 0. La giacitura di un piano (e di tutti i piani a esso paralleli) è così rappresentata sinteticamente dal vettore g perpendicolare a tutti i piani dell insieme.