GEOMETRIA esempio ATTENZIONE! A lecito l porre d = 1 e proseguire nei calcoli. Infatti, possiamo dividere le tre equazioni per d e ottenere: _ 4a _c + +1=0 d d _b + 1 = 0 d a _b _ 2c _ + + +1=0 d d d Risolvendo, otteniamo: _a 2 = _ d 7 _c = _1 d 7 b _ = 1 d e, quindi, l equazione: 1 2 __x y + __z + 1 = 0 7 7 FISSA I CONCETTI Per tre punti non allineati passa uno e un solo piano. Esercizi da pag. 409 O Determina l equazione del piano passante per i tre punti non allineati Q(4 ; 0 ; 1), R(0 ; 1 ; 0), S(1 ; 1 ; 2). Poiché l equazione da trovare è del tipo ax + by + cz + d = 0 in cui le incognite sono a, b, c, d, impostiamo il sistema seguente, sostituendo ogni volta, alle variabili x, y, z, le coordinate di Q, R, S: 4a + c + d = 0 passaggio per Q b + d = 0 passaggio per R a + b + 2c + d = 0 passaggio per S Poniamo un coefficiente qualsiasi (per esempio d) uguale a 1 ottenendo: 4a + c + 1 = 0 4a + c + 1 = 0 b+1=0 b = 1 {a + b + 2c + 1 = 0 {a + b + 2c + 1 = 0 Sostituendo a b il valore 1 nella terza equazione, otteniamo: 2 _ a = 7 4a + c + 1 = 0 {a + 2c = 0 1 c=_ 7 1 2 In conclusione, il piano ha equazione __x y + __z + 1 = 0, oppure (molti7 7 plicando per 7): 2x + 7y z 7 = 0 Possiamo verificare che le coordinate di ognuno dei punti Q, R, S rappresentano una effettiva soluzione dell equazione ottenuta. Per esempio, sostituendo le coordinate del punto Q otteniamo l identità: 2 4+7 0 1 7=0 3. Le equazioni della retta nello spazio Le equazioni di una retta Abbiamo visto che due piani con giaciture diverse (quindi non paralleli) si intersecano in una retta; ciò significa che, le coordinate dei punti in comune devono verificare, contemporaneamente, due equazioni del tipo: ax + by + cz + d = 0 e a x + b y + c z + d = 0 Di conseguenza, dovranno verificare anche l equazione di una retta nello spazio. Nel biennio hai studiato i sistemi come strumenti per determinare le soluzioni comuni a due equazioni di primo grado e in due incognite: ora sfrutteremo lo stesso strumento, ma applicato a due equazioni nelle tre incognite x, y e z. 388