8 Geometria analitica dello spazio z r FISSA I CONCETTI Q 1 1 y Q x Retta parallela al piano coordinato xy: z=k {ax + by + d = 0 con k, a, b, d R Retta non parallela al piano coordinato xy: x = lz + p {y = mz + q La retta per due punti Vogliamo determinare l equazione di una retta passante per due punti assegnati P1(x1 ; y1 ; z1) e P2(x2 ; y2 ; z2). Un generico punto P(x ; y ; z) appartiene alla retta per P1 e P2 se e solo se i seg menti orientati P1P e P 1P 2 sono paralleli: ATTENZIONE! A P2 P Il punto P potrebbe anche essere scelto come non appartenente al segmento orientato P 1 P 2 P1 P2 P P1 Le componenti dei due vettori corrispondenti sono rispettivamente; (x x 1 ; y y 1 ; z z 1) e (x 2 x 1 ; y 2 y 1 ; z 2 z 1) Se i due vettori sono paralleli, le loro componenti devono essere proporzionali e perciò, se supponiamo che nessuna delle componenti del vettore individuato da P 1 P 2 sia nulla: y y1 ______ x x1 ______ z z1 ______ = = x2 x1 y2 y1 z2 z1 importante fare delle precisazioni: I. la scrittura precedente può essere espressa nella forma di sistema di due equazioni; per esempio: _ x x1 _ z z1 x x = z z 1 2 1 2 y y1 _ z z1 _ = y2 y1 z2 z1 Nella prima delle due equazioni compaiono le variabili x e z. dunque l equazione di un piano parallelo all asse y. Nella seconda equazione compaiono soltanto le variabili y e z: essa rappresenta perciò un piano parallelo all asse x. Il procedimento è lo stesso. ATTENZIONE! A I risultati i trovati nello spazio sono in stretta analogia con quanto già studiato nel piano: l equazione di una retta passante per due punti; y y1 x x1 _ _ = x2 x1 y2 y1 se x2 x1 = 0 i punti giacciono su una retta parallela all asse y; se y2 y1 = 0 i punti giacciono su una retta parallela all asse x. 393