8 Geometria analitica dello spazio FISSA I CONCETTI Le rette parallele Per trovare i parametri direttori di una retta, è sufficiente determinare le coordinate di due punti P1 e P2 della retta stessa perché da esse si ottengono le componenti di un vettore parallelo alla retta e quindi i suoi parametri direttori. Q Q Per trovare due punti della retta possiamo assegnare due valori arbitrari a z e quindi risolvere i due sistemi in x e y che si ottengono. Come esempio, vogliamo determinare i parametri direttori della retta di equazioni: x 2y + z + 1 = 0 Equazione di una retta passante per due punti: y y1 ______ x x1 ______ z z1 ______ = = x2 x1 y2 y1 z2 z1 Parametri direttori della retta: l = x2 x1 m = y2 y1 n = z2 z1 definiti a meno di un coefficiente di proporzionalità. {2x + y + 3z 1 = 0 Poniamo z = 0 e risolviamo il sistema: x 2y + 1 = 0 {2x + y 1 = 0 3 1 la cui soluzione è x = __, y = __. 5 5 1 3 Il punto P1(__ ; __ ; 0) è un punto della retta. 5 5 ATTENZIONE! A Poniamo z = 1, e cerchiamo le soluzioni del sistema: x 2y + 2 = 0 {2x + y + 2 = 0 2 6 6 Poiché la soluzione è x = __, y = __ il punto P2( __ 5 5 5 retta. 2 ; __ ; 1) è un punto della 5 I parametri direttori della retta sono allora: 7 6 1 l = __ __ = __ 5 5 5 1 2 3 m = __ __ = __ 5 5 5 Ri Ricorda che una retta nello spazio è rappresentata da un sistema di equazioni del tipo: _ y+1 x 2 _ = 6 1 x 2 _ z 3 _ = 6 12 _1 1 x _ = y 1 6 3 1 1 1 1 _ x _ = _z _ 6 3 12 4 n=1 0=1 oppure qualsiasi altra terna di numeri a essa proporzionale (per esempio, moltiplicando per 5, abbiamo l = 7, m = 1, n = 5). Utilizzando i parametri direttori l, m, n, le equazioni di una retta passante per un punto P1(x1 ; y1 ; z1) possono anche essere scritte così: y y1 _____ x x1 ______ z z1 ______ = = dove l, m, n sono tutti diversi da 0 l m n Poiché i parametri direttori forniscono la direzione di una retta e due vettori paralleli hanno componenti proporzionali allora: due rette sono parallele se e solo se hanno tutti i parametri direttori direttamente proporzionali. esempio O Determina le equazioni della retta passante per il punto P(2 ; 1 ; 3) e parallela alla retta di equazioni: 2x z 2 = 0 {3x + 6y z = 0 395