DATI E PREVISIONI Esercizi da pag. 435 2 Le disposizioni e le combinazioni Le disposizioni di n elementi in k posti Quando ordiniamo gli elementi di un insieme, scrivendo così una loro permutazione, il numero dei posti è uguale al numero degli elementi: se vi sono n elementi, vi sarà un elemento al primo posto, un altro elemento al secondo posto e così via fino ad arrivare all ultimo elemento nell n-esimo posto. In alcune situazioni può tuttavia capitare che il numero dei posti sia inferiore al numero degli elementi. Se, per esempio, vi sono 7 concorrenti (A, B, C, D, E, F, G) che aspirano a 3 diversi posti di lavoro (autista, giardiniere, portiere), è necessario non soltanto ordinare (e cioè assegnare un posto agli elementi), ma anche fare delle scelte: occorre disporre gli elementi nei diversi posti, scartandone altri, e le scelte possibili sono numerose. Vogliamo generalizzare questo tipo di problema e trovare una formula che consenta di calcolare il numero delle scelte ordinate di n elementi da disporre in k posti, essendo k, n N e k n. KEYWORDS K disposizione / arrangement di DEFINIZIONE Si dice disposizione di n elementi in k posti ognuna delle scelte ordinate di k elementi tra gli n disponibili. Supponiamo di avere un insieme di 4 elementi A = {a, b, c, d} e di avere 2 posti in cui disporre gli elementi. Possiamo seguire un ragionamento analogo a quello seguito per le permutazioni, rappresentando con un albero tutte le scelte per il primo e il secondo posto. L albero sarebbe allora identico a quello formato dai primi due livelli di profondità dell albero già disegnato nel paragrafo precedente: scelte per il I posto scelte per il II posto a b c b d a c c d a b d d a b c Il numero di tutte le disposizioni di 4 elementi in 2 posti è allora 4 3 = 12. Esse sono: ab; ac; ad; ba; bc; bd; ca; cb; cd; da; db; dc Notiamo che scrivere ab è diverso da ba per l ordine di scelta. Il numero delle disposizioni di 4 elementi in 2 posti è il prodotto di 2 fattori (tanti quanti sono i posti): il primo fattore è 4 (le scelte possibili per l elemento al primo posto); il secondo fattore è 3 (le scelte possibili per il secondo posto). D altronde, poiché i posti disponibili, rappresentati dal valore k, sono soltanto due, consideriamo tutte le possibili scelte tra gli elementi di A che vadano a occupare proprio solo due posti. Questo significa che, per ogni scelta, solo due fra gli elementi dell insieme troveranno una collocazione, mentre gli altri due elementi risulteranno esclusi. 420