DATI E PREVISIONI esempi O Utilizzando l ultima formula scritta, calcola il numero delle combinazioni di 7 elementi di classe 4. Abbiamo: 7! 5040 5040 7 C 7,4 = ( ) = _ = _ = _ = 35 4! 3! 24 6 144 4 O Un gruppo di amici vuole ordinare una teglia di pizza da 4 gusti diversi tra gli 8 proposti nel menu. Quante sono le possibili teglie? PROVA TU P Non interessando l ordine con cui sono scelti i gusti, tutte le combinazioni di 8 elementi di classe 4 sono: 8! 40320 40320 8 C 8,4 = ( ) = _ = _ = _ = 70 4! 4! 24 24 576 4 Q Quante terne di carte dello stesso valore (tris) si possono formare da un mazzo di 36 carte da poker? Il numero delle combinazioni è il numero dei sottoinsiemi Quando in un insieme scegliamo alcuni elementi e non importa l ordine con il quale vengono scritti, di fatto viene scelto un suo sottoinsieme. Per questo motivo, il numero delle combinazioni di n elementi di classe k rappresenta il numero dei sottoinsiemi di cardinalità k di un insieme di cardinalità n. In un insieme, qualunque sia la sua cardinalità, vi è un solo sottoinsieme con 0 n elementi: l insieme vuoto. Si giustifica perciò che: ( ) = 1 0 Questo valore, del resto, si trova anche applicando direttamente la formula: n! _________ n n! _ (0) = 0!(n 0)! = 1 n! = 1 in quanto, per definizione, 0! = 1. esempio O Quanti sono i sottoinsiemi di 3 elementi dell insieme dei primi 10 numeri naturali? E quanti sono, nello stesso insieme, i sottoinsiemi di 7 elementi? Il numero di sottoinsiemi con 3 elementi è: 10! 3 628 800 10 ______ ________ ( 3 ) = 3! 7! = 6 5040 = 120 10! 10 Anche i sottoinsiemi con 7 elementi sono ( ) = ______ = 120. 7! 3! 7 Dal punto di vista psicologico, è molto diverso scegliere o rifiutare qualcosa; dal punto di vista quantitativo questa differenza viene meno. L esempio precedente ci mostra come non ci sia differenza tra scegliere 3 oggetti tra 10 oppure rifiutare di prendere gli altri 7. Perciò, se da un insieme di n elementi si sceglie un sottoinsieme di k elementi (con k n), automaticamente non si sceglie il sottoinsieme complementare, che ha n k elementi. Per questo motivo, dati n elementi, il numero delle combinazioni di classe k è uguale al numero delle combinazioni di classe n k: n n (n k) = (k) 424