9 Ordinare e contare FISSA I CONCETTI Q Q Q Una disposizione di n elementi in k posti è ognuna delle scelte ordinate di k elementi tra gli n. Numero delle disposizioni di n elementi in k posti: Dn,k = n (n 1) (n k + 1) Disposizioni con ripetizione di n elementi di classe k è: n n n = nk D n,k = k fattori Q Q Una combinazione di n elementi di classe k è ognuna delle scelte di k elementi tra gli n (senza che interessi l ordine in cui sono disposti). n elementi di classe k è indicato con numero delle combinazioni di n elementi di classe k: n n! C n,k = ( ) = _______ k!(n k)! k In un insieme di n elementi, il numero dei sottoinsiemi con k elementi è uguale al numero delle n combinazioni: ( ) k Q In particolare: n (0) = 1 n n (n k) = (k) Q 3 Le potenze di un binomio Esercizi da pag. 439 La potenza n-esima di un binomio In questo paragrafo determineremo un modo per calcolare rapidamente la potenza di un binomio, qualunque sia l esponente naturale al quale è elevato. Sai già che: (a + b)n an + bn (con a, b R, n N0) L espressione a sinistra è infatti una scrittura abbreviata per una moltiplicazione di n fattori: (a + b)n = (a + b)(a + b) (a + b) n volte Per eseguire tale moltiplicazione, dobbiamo applicare più volte la proprietà distributiva effettuando molte moltiplicazioni tra monomi; eseguiti tali prodotti, troviamo poi dei monomi tra loro simili che possiamo addizionare. Calcoliamo, per esempio, la quarta potenza di un binomio: (a + b)4 = (a + b)(a + b)(a + b)(a + b) I II III IV Il risultato sarà formato dalla somma di tanti monomi, ognuno dei quali è costituito da quattro fattori: un fattore scelto dal primo, un fattore scelto dal secondo, uno dal terzo e uno dal quarto binomio. Il fattore che viene scelto in ognuno dei binomi numerati con I, II, III, IV è a oppure b e, se in uno di essi non scegliamo a, scegliamo di conseguenza b. Ognuno dei sottoinsiemi di {I, II, III, IV} fornisce, quindi, uno dei monomi che compongono il risultato. Per esempio, il sottoinsieme {I, III} indica che dobbiamo scegliere nel primo e nel terzo binomio a (e di conseguenza scegliamo b nel II e nel IV binomio); si ottiene così il prodotto abab, cioè il monomio a2b2. 425