9 Ordinare e contare Nella formula per la potenza n-esima di un binomio compaiono sempre e soltanto segni di addizione perché, di per sé, le lettere possono rappresentare numeri o monomi con segni positivi o negativi. Nell effettivo calcolo, i segni sono determinati dagli esponenti ai quali sono elevati i singoli termini. Così, nell esempio precedente calcolando il secondo monomio abbiamo: 3 2 2 2 2 4 2 4 4 (2)(2xy ) ( 3x z) = 3(4x y )( 3x z) = 36x y z e analogamente per gli altri. FISSA I CONCETTI n Il numero ( ) è detto coefficiente k binomiale. Il triangolo di Tartaglia I coefficienti binomiali che compaiono nello sviluppo di un binomio, al crescere dell esponente del binomio, sono ordinati in questo modo: 1 1 in (a + b): (1) (0) in (a + b)2: (2) (1) (0) in (a + b)3: (3) (2) (1) (0) in (a + b)4: (4) (3) (2) (1) (0) 2 3 4 2 3 4 2 3 4 4 3 4 e così via. A ogni riga di questa tabella triangolare troviamo i coefficienti binomiali della corrispondente potenza del binomio. Il loro calcolo può essere effettuato più rapidamente, utilizzando la seguente proprietà: PROPRIET DEL COEFFICIENTE BINOMIALE (o identità di Pascal) n 1 n 1 n ( k ) + (k 1) = (k) Dimostrazione Abbiamo dunque: n 1 n 1 ( k ) + (k 1) = (n 1)! (n 1)! = ____________ + ____________________ = k!(n 1 k)! (k 1)!(n 1 (k 1))! (n 1)! (n 1)! ____________ + ____________ = k!(n 1 k)! (k 1)!(n k)! (_______________________ n k) (n 1)! + k (n 1)! = k!(n k)! Abbiamo applicato la formula del coefficiente binomiale ai due coefficienti considerati. Calcoliamo poi (n 1 (k 1)) = (n 1 k + 1) = (n k). Il minimo comune multiplo tra i due denominatori è k!(n k)!. In questa somma mettiamo in evidenza i fattori comuni, rappresentati da (n 1)!. (_______________ n 1)!(n k + k) _________ n (n 1)! ________ n! n = = = k!(n k)! k!(n k)! k!(n k)! (k) c.v.d. 427