DATI E PREVISIONI n 1 Tale proprietà esprime il fatto che ogni coefficiente binomiale (che si trovi alla riga n) è la somma dei due coefficienti che si trovano nella riga superiore (cioè nella riga n 1) e che sono collocati immediatamente alla sua sinistra e alla sua destra. n 1 ( k ) (k 1) + esempio n (k) 3 3 4 O Verifica che ( ) + ( ) = ( ). 2 1 2 La verifica deriva direttamente dal calcolo esplicito dei tre coefficienti binomiali: PROVA TU P Ut Utilizza l identità di Pascal per dimostrare che: n n+1 n+2 (0) + ( 1 ) + ( 2 ) + + n+k+1 n+k +( = ) k ) ( k 3 3 Seguendo tale regola costruttiva a partire dalla prima riga, che è formata da 1 1 (1) = 1 e (0) = 1, costruiamo allora la seguente tabella triangolare che fornisce i valori dei successivi coefficienti binomiali: 1 1 1 1 1 KEYWORDS K tri triangolo di Tartaglia o triangolo di Pascal / Tartaglia s triangle or Pascal s triangle 4 (2) = 3, (1) = 3 e (2) = 6 2 3 4 5 1 a + 2ab + 2b2 1 3 6 10 a+b 2 4 10 a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 1 a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4 1 5 1 a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5 Possiamo, quindi, completare il triangolo mettendo come vertice superiore un altro 1. Questo corrisponde alla potenza (a + b)0 = 1. Tale tabella è detta triangolo di Tartaglia, dal soprannome del matematico Niccolò Fontana. 1 1 1 5 1 4 1 3 10 1 2 6 1 3 10 1 4 1 5 1 1 esempio O Calcola (x 2y)5. Considerando la quinta riga del triangolo di Tartaglia abbiamo: (x 2y)5 = x5 + 5x4( 2y) + 10x3( 2y)2 + 10x2( 2y)3 + 5x( 2y)4 + ( 2y)5 = = x5 10x4y + 40x3y2 80x2y3 + 80xy4 32y5 FISSA I CONCETTI Q Q n 1 n 1 n ( k ) + (k 1) = (k) I protagonisti della matematica Il Triangolo di Tartaglia: 1 428 1 1 5 1 4 1 3 10 1 2 6 1 3 10 1 4 1 5 1 1 Nicolò Fontana (detto Tartaglia) (1499 ca.-1557) ha affrontato molte questioni di matematica pura e applicata e, oltre al qui descritto triangolo, scoprì la formula risolutiva dell equazione di terzo grado. A lui si deve anche la prima traduzione italiana degli Elementi di Euclide (1543). Tartaglia è il soprannome, che egli accettò come cognome, dovuto alla balbuzie conseguente a una ferita alla bocca. Questa gli fu inferta da un soldato francese durante il sacco di Brescia del 1512. Il triangolo di Tartaglia è spesso riportato nei testi di Paesi anglosassoni con il nome di triangolo di Pascal anche se, in realtà, il matematico e filosofo francese Blaise Pascal (1623-1662) ne fece solo uso per i suoi studi sulla probabilità.