9 Ordinare e contare ESERCIZI Il numero delle permutazioni di n elementi esercizio svolto In un cinema vi sono 5 posti liberi affiancati. Determina in quanti modi diversi possiamo far sedere 5 persone se: a. vi è una coppia di fidanzati, i quali vogliono stare seduti vicini; b. vi sono due coppie di fidanzati che vogliono stare seduti vicini. a. Consideriamo dapprima la coppia di fidanzati come una sola persona. Le possibilità sono allora tante quante le permutazioni di 4 elementi: 4! = 24. Occorre poi moltiplicare questo numero per il numero delle permutazioni di 2 elementi (quelli che formano la coppia). In totale, perciò: 48. b. Consideriamo ognuna delle coppie come una sola persona. Vi sono 3! possibilità. Queste devono essere moltiplicate per le permutazioni possibili di ognuna delle coppie. Perciò: 3! 2! 2! = 24. 18 In quanti modi diversi possiamo disporre 6 persone attorno a un tavolo rotondo se 2 delle 6 persone devono stare sedute vicine? 19 In quanti modi diversi possiamo disporre 6 persone, di cui 3 maschi e 3 femmine, attorno a un tavolo rotondo, se vogliamo che si alternino maschi e femmine? 20 Determina in quanti modi diversi possiamo disporre in fila indiana 7 persone se prima devono sfilare le 3 donne e poi i 4 maschi. 21 Determina in quanti modi diversi possiamo disporre gli 8 vagoni di un treno se prima devono essere messi i 3 vagoni di prima classe, quindi deve essere agganciato il vagone ristorante e infine devono essere collocati i 4 vagoni di seconda classe. 22 23 L equipaggio di una imbarcazione è composto di 2 bambini, 4 donne, 3 maschi più il comandante. L imbarcazione sta affondando e, uno per volta, i naufraghi devono essere trasbordati su una imbarcazione venuta in soccorso. Determina quanti possibili ordinamenti di trasbordo vi sono nei casi in cui: a. si segua l ordine d età (dal più giovane al più anziano); b. si segua come criterio d ordine: prima i bambini, poi le donne, poi i maschi e infine il comandante; c. non si segua alcun criterio d ordine. [ ] 24 Generalmente, la scomposizione in fattori primi di un numero viene scritta indicando i diversi fattori con il loro esponente. Così 60 = 22 3 5, oppure 60 = 3 22 5 e così via. In quanti modi diversi può così essere scritta la scomposizione in fattori primi del numero 8400? Determina in quanti modi diversi possiamo disporre in fila indiana 6 persone se le 3 donne e i 3 maschi che compongono il gruppo devono sfilare [ ] non separati da persone dell altro sesso. [ ] 2 Le disposizioni e le combinazioni Teoria da pag. 420 PER FISSARE I CONCETTI 25 ARGOMENTA Spiega che cosa si intende per combinazioni di n elementi di classe k. 28 Quante sono le disposizioni di n elementi di classe k? 26 Quante sono le combinazioni di n elementi di classe k? 29 Il numero delle disposizioni di n elementi in k posti è indicato con Dn,k. Che cosa succede se k = n? 27 ARGOMENTA Spiega cosa si intende per disposizioni di n elementi di classe k. 30 Quante sono le disposizioni con ripetizione di n elementi di classe k? 435