10 Eventi e probabilità Indicheremo un generico evento con la lettera E e la misura della sua probabilità con p(E). Probabilità a priori Per definire la probabilità a priori partiamo dall esempio del lancio di un dado e supponiamo di voler determinare quante sono le possibilità che esca il numero 4 (considerando il punteggio riportato sulla sua faccia superiore). I numeri che possono uscire sono, naturalmente, 6 e di questi solo uno è quello desiderato. Da ciò deduciamo che la probabilità che esca il 4 (ma anche qualsia1 si altro numero) è di 1 caso su 6 casi possibili; quindi __. 6 Se in un fenomeno non abbiamo alcuna ragione per privilegiare l uno o l altro di tutti i casi possibili e il numero n di questi è finito, allora assumiamo una ipotesi 1 di equiprobabilità, assegnando come misura di probabilità a priori il valore __ a n ciascuno degli eventi elementari. Seguendo tale impostazione assegniamo la misura della probabilità con il seguente procedimento: I. determiniamo il numero di tutti i casi possibili, cioè il numero degli eventi elementari; II. determiniamo il numero dei casi favorevoli, cioè di quei casi, che rendono verificato l evento di cui vogliamo calcolare la probabilità; III. calcoliamo il rapporto tra numero dei casi favorevoli e numero dei casi possibili. esempi O Riferendoci all esempio precedente, calcoliamo la probabilità dei seguenti eventi: E1 = «esce un numero pari E2 = «esce un multiplo di 3 Come abbiamo visto in precedenza i punteggi di un dado sono i numeri da 1 a 6, quindi l insieme di questi sei punteggi costituisce l universo U = {1, 2, 3, 4, 5, 6} dei casi possibili. L evento E1 = «esce un numero pari definisce l insieme {2, 4, 6} e questi tre numeri rappresentano i casi favorevoli all evento. Abbiamo, quindi: 3 1 p(E1) = __ = __ 6 2 L evento E2 = «esce un multiplo di 3 definisce l insieme {3, 6} e quindi: 2 1 p(E2) = __ = __ 6 3 ATTENZIONE! A P Possiamo esprimere una misura di probabilità in diversi modi tra loro equivalenti: in frazione; in percentuale; in numero decimale. 1 Una probabilità __, per esempio, 2 può essere anche espressa come 50% di probabilità oppure con il valore 0,5. ATTENZIONE! A O evento può essere definito Ogni per enumerazione dei casi o, quando possibile, mediante proposizioni. Per esempio, nell estrazione di un numero dal sacchetto della tombola la proposizione «esce un multiplo di 10 definisce in modo equivalente l insieme {10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90}. La proposizione «esce un numero maggiore di 30 definisce invece l insieme dei numeri da 31 a 90 {31, 32, 33, , 88, 89, 90}. PROVA TU P C Calcola la probabilità dei medesimi eventi dell esempio a lato ma utilizzando a. un dado a 12 facce (dodecaedro) b. un dado a 20 facce (icosaedro) O Lanciamo in aria due volte una moneta da 10 centesimi. Le due facce della moneta sono tradizionalmente denominate Testa e Croce e le indichiamo con i simboli T e C: il simbolo T per la faccia in cui è scritto il valore della moneta, il simbolo C per l altra. Vogliamo calcolare la probabilità che nei due successivi lanci escano due simboli diversi. L insieme universo è U = {(T ; C), (T ; T), (C ; C), (C ; T)} e l evento E = «escono due simboli diversi definisce l insieme {(T ; C), (C ; T)}. Dunque: 2 1 p(E) = __ = __ 4 2 445