DATI E PREVISIONI PROVA TU P L Lancia in aria contemporaneamente quattro monete uguali e considera gli eventi A = «esce almeno una volta Testa e B = «esce almeno due volte Croce . Calcola: a. p(A), p(B) b. p(A B) e p(B A) FISSA I CONCETTI Q Q Q Probabilità condizionata p(B A): probabilità di B nell ipotesi che A si sia verificato. p(A e B) P(B A) = _ p(A) Probabilità dell intersezione (o della congiunzione): p(A e B) = p(A) p(B A) = = p(B) p(A B) Eventi stocasticamente indipendenti: p(A e B) = p(A) p(B) Esercizi da pag. 480 e quindi: 4 36 p(nonA1) = 1 ___ = ___ = 0,9 = 90% 40 40 4 3 36 4 p(A2) = (___) (___) + (___) (___) = 0,1 = 10% 40 39 40 39 4 3 p(A1 e A2) = (___) (___) 0,0077 = 0,77% 40 39 Invece: p(A1) p(A2) = 0,1 0,1 = 0,01 = 1% e poiché p(A1 e A2) p(A1) p(A2), i due eventi non sono stocasticamente indipendenti. ATTENZIONE! A L relazione di indipendenza tra eventi è, nella teoria della probabilità, una relazione simmetrica: se La A dipende (o non dipende) da B, anche B dipende (o non dipende) da A. In questo senso, tale relazione contrasta con l uso del concetto di indipendenza che abbiamo nel linguaggio comune, in altre parti della matematica (si pensi alle funzioni) e nelle scienze sperimentali. Per tali motivi, onde evitare confusioni, si aggiunge l avverbio «stocasticamente , di origine greca, che sottolinea l aspetto particolare e congetturale di tale indipendenza. Teniamo però presente che la simmetria del concetto di indipendenza non equivale all uguaglianza di valori numerici, cioè di probabilità, giacché in genere p(A B) p(B A). 4 Il teorema di Bayes I sistemi completi di alternative e i grafi ad albero In un determinato Paese vige l obbligo scolastico fino al compimento del 18° anno d età: terminato il ciclo di scuola primaria, a 13 anni, ogni ragazzo deve scegliere un solo indirizzo tra i tre possibili di scuola secondaria: H1: tecnico-professionale H2: umanistico H3: scientifico Sulla base di quanto verificatosi negli anni precedenti valutiamo le seguenti probabilità di scelta: p(H1) = 45% p(H2) = 30% p(H3) = 25% Nello spazio degli eventi «scelta dell indirizzo di scuola superiore i tre eventi H1, H2, H3 hanno queste caratteristiche: a. sono a due a due incompatibili, perché non è possibile scegliere due indirizzi; b. occorre scegliere necessariamente uno degli indirizzi, perché lo impone la legge per obbligo. Formalizzando la situazione abbiamo perciò: a. p(H1 e H2) = 0, p(H1 e H3) = 0, p(H2 e H3) = 0 b. p(H1) + p(H2) + p(H3) = 1 456