10 Eventi e probabilità Generalizzando, chiamiamo sistema completo di alternative un insieme di n eventi H1, , Hn a due a due incompatibili e che esauriscono tutte le possibilità dell insieme universo. Un sistema completo di alternative è ben rappresentato da un grafo ad albero, nel quale ogni ramificazione corrisponde alle scelte possibili e su ogni ramo si indicano le rispettive probabilità: 45% 30% 25% H2 H1 H3 Indichiamo ora con D l evento «conseguire il diploma finale entro il 18° anno e supponiamo di conoscere le seguenti probabilità: p(D H1) = 60% p(D H2) = 90% p(D H3) = 70% dove: D H1: «conseguire il diploma tecnico-professionale D H2: «conseguire il diploma umanistico D H3: «conseguire il diploma scientifico H1 D 30% H1 60% D | H3 H3 D 25% H2 40% nonD 90% D D | H2 D | H1 La rappresentazione del grafo ad albero è la seguente: 45% H2 H3 10% nonD 70% D 30% nonD Vogliamo calcolare p(D), cioè la probabilità che uno studente, indipendentemente dall indirizzo frequentato, consegua il diploma finale entro il 18° anno. L evento D si verifica solo se prima si è verificato uno qualunque degli eventi H1 o H2 oppure H3. Possiamo quindi scrivere: ATTENZIONE! A L formula della moltiplicazione La giustifica l utilizzo degli alberi nei casi in cui: abbiamo un sistema completo di alternative; possiamo valutare le probabilità che si verifichi un evento segnato su un nodo, condizionato al verificarsi dell evento del nodo precedente. D = (D e H1) o (D e H2) o (D e H3) p(H1) I tre eventi (D e Hi) sono a due a due incompatibili e, quindi abbiamo: p(D) = p(D e H1) + p(D e H2) + p(D e H3) Poiché gli eventi H1, H2 e H3 appartengono allo stesso spazio degli eventi, per quanto visto nel paragrafo precedente abbiamo: p(D) = p(H1) p(D H1) + p(H2) p(D H2) + p(H3) p(D H3) Sostituendo i relativi valori: p(D) = 0,45 0,60 + 0,30 0,90 + 0,25 0,70 = 0,715 = 71,5% Il ragionamento condotto sull esempio può essere generalizzato a un insieme di eventi H1, H2, , Hn, costituenti un sistema completo di alternative, e a un evento E che si verifica condizionato a essi. Abbiamo: p(E) =p(H1) p(E H1) + p(H2) p(E H2) + + p(Hn) p(E Hn) p(Hn) H1 p(E | H1) E Hn p(E | Hn) nonE E nonE In tali casi, infatti, consideriamo tutti i percorsi che, dalla radice, portano ai nodi terminali dell evento che interessa: moltiplichiamo le probabilità sui rami di ognuno dei percorsi e quindi addizioniamo i prodotti ottenuti. 457