DATI E PREVISIONI sufficiente, infatti, raccogliere a fattore comune a denominatore il termine p(Hi) e semplificare con l analogo termine a numeratore. esempi O Per produrre uno stesso articolo sono impiegate tre diverse macchine, M1, M2 e M3 che producono pezzi difettosi con le seguenti rispettive probabilità: 1%, 2% e 0,1%. Le tre macchine producono rispettivamente il 30%, il 50% e il 20% della produzione totale. Calcola probabilità dei seguenti eventi: a. D: «un pezzo uscito dalla fabbrica è difettoso ; b. un pezzo difettoso è stato prodotto dalla macchina M2. Rappresentiamo la situazione con un grafo ad albero: 30% M1 99% 20% 50% M2 1% buono difettoso 98% 2% buono difettoso M3 99,9% 0,1% buono difettoso Abbiamo dunque le risposte: a. p(D) = p(M1) p(D M1) + p(M2) p(D M2) + p(M3) p(D M3) = = 0,30 0,01 + 0,50 0,02 + 0,20 0,001 = 0,0132 = 1,32% p(M 2) p(D M 2 ) b. p(M2 D) = ___________________________________________ = p(M 1) p(D M 1) + p(M 2) p(D M 2) + p(M 2) p(D M 2 ) 0,50 0,02 = _________ = 0,7576 = 75,76% 0,0132 3 Quindi, in circa __ dei casi possiamo ritenere che la causa di un pezzo difetto4 so sia la macchina M2. O Un esame del sangue è in grado di rilevare la presenza di un virus nel 95% dei casi quando la malattia è in atto (affidabilità del test). Tuttavia, l esame fornisce un falso positivo (cioè un esito positivo anche se la malattia non è in atto) nel 2% dei casi testati. Nell ipotesi che il 10% della popolazione sia stata infettata dal virus, qual è la probabilità che una persona scelta a caso abbia effettivamente contratto la malattia se il suo test ha dato un risultato positivo? 0,9 0,1 M nonM 0,02 V 0,98 0,95 nonV V 0,05 nonV Sia M l evento «un soggetto ha la malattia e V: «il test è positivo al virus . Poiché, per ipotesi, il test è affidabile al 95%, possiamo scrivere che p(V M) = 0,95. Tuttavia, poiché l esame fornisce un falso positivo nel 2% dei casi, ovvero p(V nonM) = 0,02 e sapendo che p(M) = 0,1, per determinare p(M V) possiamo utilizzare il teorema di Bayes: p(V M) p(M) p(M V) = _________________________________ = p(V M) p(M) + p(V nonM ) p(nonM ) 0,95 0,1 = ______________________ = 0,841 = 84,1% 0,95 0,1 + 0,02 0,9 Risulta quindi che una persona scelta a caso che ottiene risultato positivo al test ha una probabilità del 84,1% di aver contratto effettivamente la malattia. 460