Roberto Cipollone

Beatrice Tremiti

Il Maraschini-Palma, nato dalla collaborazione con Treccani, è ben calibrato nei contenuti e chiaro nelle spiegazioni, rispondendo alle specificità d’indirizzo. L’apparato didattico accurato accompagna gli studenti e le studentesse in tutte le fasi dello studio con strumenti come esempi, glossario, richiami all’attenzione, domande, primi esercizi e approfondimenti. Ogni paragrafo propone un riassunto dei contenuti essenziali. L’apprendimento è al centro, puntando a un coinvolgimento diretto di studenti e studentesse. La rubrica Fuori dagli schemi in apertura di capitolo stimola la riflessione sugli argomenti dell’unità, mentre le rubriche Prova tu nelle pagine di teoria propongono domande ed esercizi per mettersi subito alla prova. Alla fine di ogni capitolo sono presenti mappe dei concetti chiave, una sintesi attiva per valutare i concetti appresi e un ricco apparato di esercizi a livelli che permettono di esercitarsi sugli argomenti appresi, usare il lessico disciplinare, argomentare e dimostrare. Il Maraschini-Palma mira a far acquisire agli studenti la capacità di utilizzare la formalità, applicandola alla vita reale.&nbsp;

RELAZIONI E FUNZIONI - 1. LE FUNZIONI GONIOMETRICHE

1 - La misura degli angoli in radianti

La proporzionalità tra angoli al centro e archi corrispondenti

Il radiante

2 - Il coseno e il seno di un numero reale

Gli angoli e le rotazioni

La circonferenza goniometrica

Il coseno e il seno di alcuni angoli particolari

Il coseno e il seno di angoli associati

3 - Le funzioni y = cosx e y = senx

Le funzioni goniometriche

Il grafico di y = senx

Il grafico di y = cosx

Le relazioni ricavabili dai grafici

4 - La funzione y = tanx

La definizione geometrica della tangente

La definizione della tangente come funzione

Il grafico di y = tanx

5 - Le corrispondenze goniometriche inverse

La determinazione dei valori di x dei quali si conosce cosx, senx o tanx

L’arcocoseno

L’arcoseno

L’arcotangente

6 - Le trasformazioni di una funzione goniometrica

Le traslazioni e le simmetrie della sinusoide

Gli stiramenti verticali e orizzontali

CONCETTI CHIAVE

Strumenti - La calcolatrice per le funzioni goniometriche

Complementi - Le funzioni cotangente, secante e cosecante

SINTESI ATTIVA

ESERCIZI

PRACTICE WITH CLIL

METTITI ALLA PROVA

VERSO LA PROVA DI VERIFICA

RELAZIONI E FUNZIONI - 2. EQUAZIONI E DISEQUAZIONI GONIOMETRICHE

1 - Le equazioni goniometriche elementari

Le equazioni risolubili direttamente

Le equazioni formate da un polinomio uguagliato a 0

Le equazioni omogenee (in senx e cosx)

Le equazioni riconducibili a equazioni omogenee (in senx e cosx)

2 - Le formule di addizione e sottrazione e alcune loro conseguenze

La non linearità delle funzioni goniometriche

Le formule di sottrazione e di addizione per il coseno

Le formule di addizione e di sottrazione per il seno

Le formule di duplicazione per il coseno e il seno

Le formule per la tangente

3 - Le equazioni lineari in seno e coseno

Il metodo di sostituzione per la risoluzione delle equazioni lineari in seno e coseno

Il metodo di risoluzione delle equazioni lineari in seno e coseno con le formule parametriche

4 - Altri tipi di equazioni

5 - Le disequazioni goniometriche

Le disequazioni elementari

Le disequazioni più complesse

Strumenti - Le equazioni goniometriche lineari con GeoGebra

GEOMETRIA - 3. TRIGONOMETRIA

1 - La risoluzione di un triangolo rettangolo

I triangoli rettangoli con ipotenusa unitaria

I triangoli rettangoli qualsiasi

Le relazioni fondamentali in un triangolo rettangolo

2 - Le applicazioni con i triangoli rettangoli

Il coefficiente angolare di una retta

Misurare da lontano

3 - La risoluzione di un triangolo qualunque

Il teorema dei seni

Il teorema del coseno

Gli elementi necessari per risolvere un triangolo

4 - Le relazioni nei triangoli e nei quadrilateri

L’area di un triangolo e di un parallelogramma

La formula di Erone

I teoremi della mediana e della bisettrice

5 - I fenomeni periodici e i modelli goniometrici

La velocità angolare

Le vibrazioni di una corda, il suono

Strumenti - La scomposizione di un vettore

Leggere di matematica - Il calendario, Carlo Maria Martini

RELAZIONI E FUNZIONI - 4. SUCCESSIONI E PROGRESSIONI

1 - Le successioni numeriche

La definizione di successione

Le successioni divergenti, convergenti e irregolari

Le successioni crescenti o decrescenti

2 - Le progressioni aritmetiche e le progressioni geometriche

La scrittura dei termini di una progressione

Le progressioni aritmetiche

Le progressioni geometriche

3 - La costruzione di successioni

Le successioni definite per ricorrenza

Costruire figure per ricorrenza

Le successioni di potenze

Configurazioni del corso

Treccani Emporium

Relazione d'adozione

edulia Treccani Scuola

DATI E PREVISIONI In questo esempio, la prova e l analisi dei risultati di dieci lanci consecutivi serve a dare un idea di quanto la particolare successione sia dovuta al caso oppure al fatto che la moneta scelta sia effettivamente quella falsa. Occorre sottolineare che in tale situazione, in cui peraltro non vi è alcun altro criterio per riconoscere la moneta falsa, lanciando più volte in aria la moneta prescelta, si possono presentare due situazioni: Q  se esce una volta Croce, allora siamo certi che la moneta non è quella falsa; Q  se continua a uscire Testa, allora non saremo mai certi che la moneta scelta sia quella falsa. Piuttosto, aumenterà la sua probabilità di essere falsa. esempio O Riferendoci all esempio precedente, vogliamo generalizzare la situazione per un numero 10k qualsiasi di monete e un numero n qualsiasi di lanci. Calcola, al variare di n e k, alcuni valori di probabilità. Il numero totale delle disposizioni con ripetizione su n lanci è 2n, e di questi lanci la sola sequenza di tutte teste è quella da prendere in considerazione. A calcoli fatti, la precedente formula finale risulta: 2n p(F   Tn) = ___________ 10k   1 + 2n La seguente tabella mostra alcuni valori di probabilità per diverse coppie di valori delle variabili n e k. n 10 20 30 50 2 0,91184 0,99991 0,99999 1 3 0,50618 0,99905 0,99999 1 6 0,00102 0,51186 0,99907 1 9 0,00001 0,00105 0,51778 0,99999 k I valori che compaiono nella tabella sono arrotondati, poiché l espressione p(F   Tn) è comunque diversa da 1; essa, tuttavia, tende a 1 per n tendente a infinito. Dalla tabella si vede che aumentando il numero di lanci aumenta la probabilità di aver pescato la moneta falsa, in subordine al fatto che siano uscite tutte Teste nei diversi lanci. Per 50 lanci possiamo essere praticamente certi di avere pescato la moneta falsa, anche nel caso in cui il numero di monete fosse uguale a un miliardo. APPROFONDIMENTO A C Come abbiamo già rilevato, il teorema di Bayes è anche chiamato teorema delle cause. Il nome di teorema delle cause, anche se improprio perché sarebbe opportuno riservare il termine causa a fenomeni strettamente deterministici, esprime come, sulla sua base, sia possibile effettuare dei ragionamenti induttivi, cioè risalire a conclusioni generali sulla base di una serie di esperimenti particolari (che necessariamente riguardano un numero finito di casi). 462 La conclusione di un ragionamento induttivo su basi statistiche non può mai essere certa: presa infatti una moneta tra un milione, dopo 30 successive uscite di Testa, non possiamo dire che «la moneta è falsa , ma soltanto che «la moneta è falsa al 99,907% , oppure è falsa con un grado di fiducia del 99,907%. Il teorema di Bayes permette di assegnare un valore di probabilità al fatto che una certa ricorrenza statistica sia dovuta a una determinata causa. Anche se non siamo in grado di attribuire con certezza l evento a una determinata causa, possiamo però dire che l evento E dipende dalla causa H con probabilità p, oppure, come si usa dire, con un grado di fiducia p ovvero un valore di probabilità che riteniamo accettabile per supporre che un evento sia l effetto di una particolare causa; tale valore è, in genere, non inferiore al 95%. 

Il teorema di Bayes

10 Eventi e probabilità esempio O In un urna ci sono due palline, di colore bianco oppure rosso. Non conoscendo la composizione dell urna, né potendo guardarci dentro, si possono fare tre ipotesi: H1: le palline sono entrambe bianche (ipotesi BB); H2: una pallina è bianca e l altra è rossa (ipotesi BR); H3: le due palline sono entrambe rosse (ipotesi RR).   possibile estrarre una pallina per volta, rimettendola quindi nell urna. Calcola il minimo numero di estrazioni per poter accettare una delle tre ipotesi con un grado di fiducia maggiore del 95%. In assenza di ulteriori informazioni attribuiamo alle tre ipotesi la stessa probabilità iniziale: 1 p(BB) = p(BR) = p(RR) = __ 3 La prima estrazione (esperimento 0) è già sufficiente a farci rigettare una delle tre ipotesi: se, infatti, per esempio alla prima estrazione uscisse una pallina bianca, allora evidentemente occorrerebbe scartare l ipotesi RR. La probabilità p(RR), ricalcolata dopo il primo esperimento, diventerebbe uguale a 0. Per avere il quadro completo della situazione è però necessario ricalcolare anche le probabilità relative alle altre due ipotesi, utilizzando la formula di Bayes semplificata. Supponendo perciò che all esperimento 0 si sia verificato l evento B, la situazione sarebbe la seguente: esperimento 0 (ipotesi di uscita di una pallina bianca): 1 p(B) = __; 2 1 _  1     B H B H p p ( ) ( ) 2 1 1 3 ________________________ _ _   =_ p(H 1 B) = = =       1 ( ) 3 p B p(B H 1) + p(B H 2) + p(B H 3) _ 2 1 1 _ _     B H B H p p ( ) ( ) 2 2 3 2 1 p(H 2   B) = ________________________ = _ = _ = _ 1 3 p(B) p(B   H 1) + p(B   H 2) + p(B   H 3) _ 2 1 _  0 p(B   H 3) p(B   H 3) _ 3 ________________________ _ =0 p(H 3   B) = = = 1 p(B) p(B   H 1) + p(B   H 2) + p(B   H 3) _ 2 Proseguiamo gli esperimenti: appena venisse estratta una pallina rossa, cadrebbe immediatamente anche l ipotesi H1 = BB: l urna conterrebbe sicuramente (grado di fiducia 100%) una pallina rossa e una pallina bianca. Se, invece, continuassimo a estrarre ogni volta una pallina bianca, allora dovremmo continuare l esperimento. 1 3 H1 = BB 1 B 1 3 H2 = BR 1 2 B 1 3 H3 = RR 0 B Mettiamoci dunque in questa ipotesi e ricalcoliamo ogni volta le probabilità fino a che p(H1) è maggiore del grado di fiducia richiesto (95%). Ogni volta assumiamo come probabilità delle due ipotesi, quelle ricalcolate con il teorema di Bayes e che sono condizionate dall ulteriore verificarsi dell evento «è stata estratta una pallina bianca . 463 

Il Maraschini-Palma, in collaborazione con Treccani, offre contenuti chiari e un ricco apparato didattico per un apprendimento coinvolgente e pratico.

Il Maraschini-Palma: Apprendimento Coinvolgente con Treccani

Il Maraschini-Palma - volume 4

L'ambiente didattico Treccani Giunti T.V.P.

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