RELAZIONI E FUNZIONI senx = 1 1 senx = _ 2 3 x = _ + 2k 2 5 x = _ + 2k e x = _ + 2k 6 6 O Risolvi l equazione 2cos2x + 9senx = 3. Nell equazione compaiono sia senx sia cosx. La funzione cosx è elevata al quadrato e quindi, utilizzando la formula cos2x = 1 sen2x l equazione viene trasformata in modo tale che abbia una sola funzione goniometrica e non compaiano radicali: 2(1 sen2x) + 9senx = 3 Effettuando i calcoli otteniamo l equazione di secondo grado, in cui compare la sola funzione senx: 2sen2x 9senx 5 = 0 Risolvendola rispetto a senx otteniamo: _______________ 9 81 + 40 9 11 senx = _______________________ = _ = 4 4 20 _ =5 4 2 1 _ = _ 4 2 senx = 5 è impossibile 1 senx = _ 2 7 11 x = _ + 2k e x = _ + 2k 6 6 O Risolvi l equazione 2sen2x + 2tanx + 2cos2x = 0. Per la relazione fondamentale tra coseno e seno notiamo che: 2sen2x + 2cos2x = 2(sen2x + cos2x) = 2 1 = 2 L equazione diventa perciò: 3 2tanx + 2 = 0 tanx = 1 x = _ + k 4 ATTENZIONE! A Vi sono molte formule che permettono di passare da una funzione goniometrica a un altra (per esempio cos2x = 1 sen2x); di conseguenza una espressione goniometrica è sempre trasformabile in un altra identica, ma scritta in modo diverso. Come mostrano gli esempi precedenti, spesso possiamo risolvere una equazione goniometrica seguendo il seguente schema: I. se compare una sola funzione goniometrica risolviamo l equazione rispetto a tale funzione; II. se compaiono più funzioni goniometriche cerchiamo di utilizzare qualche formula nota per trasformare l equazione in una equivalente in cui compaia un solo tipo di funzione. A tale scopo possiamo utilizzare le formule: sen2x + cos2x = 1 sen x _ = tanx cosx In entrambi i casi determiniamo i valori degli angoli ricorrendo ai valori noti o utilizzando la calcolatrice. In taluni casi, l equazione non è mai verificata (come nel primo esempio di questo paragrafo) ed è quindi una contraddizione; in altri casi è invece verificata per tutti i valori in cui è definita (come nel terzo esempio di questo paragrafo) ed è allora una identità. Negli altri casi (come nel secondo esempio), tali equazioni hanno, in generale, infinite soluzioni, a causa della periodicità delle funzioni goniometriche. 70