RELAZIONI E FUNZIONI FISSA I CONCETTI Q Q Se f è una funzione goniometrica: f(x1 + x2) f(x1) + f(x2) Se f è una funzione goniometrica: f(kx) k f(x) utile, allora, avere a disposizione delle formule che permettano di trovare il coseno, il seno o la tangente delle somme o delle differenze di numeri reali, conoscendo i valori del coseno, del seno o della tangente di ciascuno di essi. Indichiamo con e tali due numeri, per evitare confusioni con le coordinate x e y. Le formule di sottrazione e di addizione per il coseno KEYWORDS K fo formula di sottrazione / subtraction formula Formula di sottrazione per il coseno: cos( ) = cos cos + sen sen (1) Dimostrazione Consideriamo sulla circonferenza goniometrica due angoli di rispettive ampiezze e (fig. a.). Indichiamo con P il punto di coordinate (cos ; sen ) e P ha allora ampiezza con Q il punto di coordinate (cos ; sen ). L angolo QO ( ) (fig. b.). y Q P y O a. ATTENZIONE! A 1 x b. Effettuiamo una rotazione di centro l oy rigine O tale che il punto Q coincida con Q B il punto A(1 ; 0). Al punto P, di conseguenza, corrisponde P un altro punto, che indichiamo con B. Le coordinate di B sono: A 1 x (cos( ) ; sen( )). O Poiché la rotazione effettuata è una isometria e al segmento PQ corrisponde il segmento BA, abbiamo: PQ BA Calcoliamo separatamente la lunghezza di questi due segmenti, applicando la formula della distanza tra due punti: _______________________________________________________ ¯ = (cos cos )2 + (sen sen )2 = PQ Il disegno considera il caso particolare con i lati finali dei due angoli nel II quadrante e > . Il ragionamento e il calcolo effettuati sono tuttavia validi per qualunque , R. O 1 x ___________________________________________________________________________________________________ = cos2 + cos2 2cos cos + sen2 + sen2 2sen sen = _______________________________________________________________________________________________________ = (sen2 + cos2 ) + (sen2 + cos2 ) 2sen sen 2cos cos = ____________________________________________ = 2 2sen sen 2cos cos _______________________________________________________ ¯ = (1 cos( ))2 + sen2( ) = AB ________________________________________________________________________________ = 1 + cos2( ) 2cos( ) + sen2( ) = ___________________________________________________________________________________ = 1 + (sen2( ) + cos2( )) 2cos( ) = 74
