RELAZIONI E FUNZIONI y l+ Jl l l+ O a a a+ x Ia L intorno Jl ; è sull asse y, ha centro l e raggio . L intorno Ia ; è sull asse x, ha centro a e raggio . La definizione non permette di determinare il limite di una funzione ma, piuttosto, di dimostrare che un valore l congetturato è effettivamente il limite della funzione. esempi O Dimostra che: x2 1 lim _ = 2 x 1 x 1 ATTENZIONE! A L formula (|x 1| < e x 1) può La essere sintetizzata scrivendo: 0 < |x 1| < oppure scrivendo: 1 <x<1+ la formalizzazione del dialogo del paragrafo precedente. Prendiamo x I 1; ovvero tale che 0 < |x 1| < ; allora, affinché il limite sia verificato, deve essere f(x) J 2 ; cioè: |f(x) 2| < | 2 | 2 x 1 | x 1 2x + 2 _____________ < x 1 | x 1 _____ 2 < |x 1| < con x 1 | | 2 (x 1) _______ < x 1 sufficiente, quindi, prendere = affinché risulti: |f(x) 2| < quando |x 1| < In questo caso particolare i raggi dei due intorni sono uguali ovvero = . y 2,5 f (x) 2 1,5 O 0,5 1 x 1,5 x O Dimostra che: 3 x2 4x 4 lim ___________ = 8 x 2 x 2 La funzione esiste per x R con x 2. Poiché il trinomio al numeratore si scompone in (x 2)(3x + 2), l espressione della funzione, per x 2, può essere semplificata ottenendo y = 3x + 2. Il suo grafico è una retta di coefficiente angolare 3, privata del punto (2 ; 8). Se allora consideriamo sull asse y l intorno di centro 8 e raggio , affinché f(x) appartenga all intorno assegnato è sufficiente (data l inclinazione della retta) considerare sull asse x l intorno di centro 2 e raggio = __. 3 104