2 esempio 3 Limiti di funzioni reali _ FISSA I CONCETTI O Dimostra che lim x = . Limite infinito per x che tende all infinito: lim f (x ) = x Per ogni M > 0 si può scegliere k = M3. Infatti: _ |x| > M3 3 x > M | | x M > 0 k > 0 tale che |x| > k |f(x)| > M Una definizione unitaria Tutte le definizioni di limite si possono riassumere in una sola, verbalmente simile alla prima definizione data in questo paragrafo: si differenzia da essa perché qui a ed l possono rappresentare sia numeri reali sia il simbolo . DEFINIZIONE Si dice che l è il limite della funzione y = f(x) per x tendente ad a e si scrive: lim f(x) = l x a se per ogni intorno J l esiste un intorno I a tale che: x I a (con x a) f(x) J l Come puoi notare, nella definizione, abbiamo omesso di inserire i raggi degli intorni proprio per renderla unitaria. Naturalmente questi dovranno essere implicitamente considerati nei casi in cui x e/o f(x) tendono a un valore finito. esempi O Verifica che data la funzione y = k, con k R, si ha lim y = k, sia che a indichi un numero reale sia che x a y k indichi . Graficamente, questa proprietà è immediata: il grafico di una funzione costante è una retta parallela all asse delle ascisse e il valore di y si mantiene sempre uguale a k, comunque vari x in R (figura a lato). a x Per ogni Jk, qualunque sia x, abbiamo y J k. Come puoi vedere dal grafico il limite è verificato sia nel caso che a sia un numero finito, sia nel caso in cui a rappresenti il simbolo , infatti: lim k = k. x O Verifica che data la funzione y = x, si ha lim y = a. x a Qualunque sia Ja sull asse delle ordinate, possiamo individuare un corrispondente intervallo sull asse delle ascisse di pari ampiezza: per ogni x appartenente a questo intorno, y appartiene a J a (figura a lato). y a La proprietà si estende anche al caso in cui a rappresenti il simbolo . Perciò lim x = . x O La funzione «parte intera di un numero reale x è definita come il numero intero che meglio approssima x per difetto: esso è pertanto il massimo intero n che soddisfa la disuguaglianza n x; si indica con il simbolo [x]. a x Verifica che non esiste il limite di y = [x] per x tendente a 1. 111