2 Limiti di funzioni reali 4 Le proprietà dei limiti Esercizi da pag. 143 In questo paragrafo indagheremo sulle proprietà dei limiti di una funzione utilizzando principalmente la definizione unitaria di limite. Con la scrittura: lim f(x) = l x a sottintenderemo, quindi, che i simboli a ed l possano indicare sia un numero reale sia . Oltre che a caratterizzare i limiti, le proprietà che ricaveremo hanno importanza per il calcolo dei limiti delle funzioni. Infatti, grazie a esse, saremo in grado di calcolare alcuni limiti fondamentali (chiamati, a volte, elementari) e dedurre teoremi che ci permetteranno di determinare il valore di altri limiti meno elementari. Qui ci limiteremo a enunciare i teoremi ma potrai trovare le dimostrazioni tra gli Approfondimenti online. Il primo teorema afferma che il limite di una funzione, per x tendente a un valore reale o all infinito, se esiste, è unico. TEOREMA (unicità del limite) Una funzione y = f(x) non può avere due limiti diversi per x tendente ad a. L enunciato del teorema è intuitivo: ci aspettiamo, infatti, che non possano esistere due limiti diversi per una funzione y = f(x) per x tendente a a (numero reale o ). La dimostrazione del teorema procede, quindi, per assurdo, supponendo l esistenza di due limiti distinti. Approfondisci Dimostrazione del teorema (unicità del limite) Dimostrazione del teorema (permanenza del segno) Il secondo teorema riguarda il segno della funzione in prossimità del limite e in particolare evidenzia che, come è facilmente intuibile, non è possibile che una variabile tenda a un limite in modo improvviso. TEOREMA (permanenza del segno) Se, per x tendente ad a, la funzione y = f(x) tende a un limite reale e non nullo l, allora esiste un intorno tale che, per ogni x di tale intorno e diverso da a, per il quale la funzione è definita, y ha lo stesso segno di l. Graficamente ciò significa che se, per x tendente ad a, y = f(x) tende al limite l positivo, allora, necessariamente, esisterà un opportuno intorno di a tale che, per ogni x di tale intorno, (escluso al più a stesso) la funzione è positiva (figura a lato). Analogamente, se il limite l è negativo, in corrispondenza di un opportuno intorno di a, la funzione sarà negativa. In altre parole, il teorema afferma che se: lim f(x) = l con l 0 x a allora possiamo trovare un opportuno intorno di a tale che, per ogni x di tale intorno (escluso al più a stesso), la funzione (sempre che sia definita) ha lo stesso segno del limite. y l O a x Il teorema della permanenza del segno si estende, naturalmente, anche al caso in cui l è infinito: Q se lim f(x) = + allora esiste un intorno I a tale che, per ogni x I a per il quax a le f è definita, si ha y > 0; Q se lim f(x) = allora esiste un intorno I a tale che, per ogni x I a per il quax a le f è definita, si ha y < 0. 113
