RELAZIONI E FUNZIONI FISSA I CONCETTI Q Teorema della somma (differenza): lim(f(x) g (x)) = lim f (x) lim g (x) = x a Q x a x a Q x a =l m Teorema del prodotto: lim(f(x)  g(x)) = lim f(x) lim g(x) = x a Nel paragrafo precedente abbiamo verificato che se k è un numero reale, lim k = k x a sia che a indichi un numero reale sia che indichi . Da questo risultato e dal teorema del prodotto dei limiti ricaviamo il seguente teorema. TEOREMA (prodotto per una costante) Se esiste, finito, lim f(x) e k R, allora x a lim (k f(x)) = k lim f(x) x a x a =l m Teorema del quoziente: lim f (x) l f (x) x a = __ lim ___ = ______ g (x) lim g(x) m Il limite di una funzione polinomiale x a x a Q Q (con m 0) lim xn = an (con n N) x a lim(k f (x)) = k lim f (x) x a x a x a Possiamo utilizzare le proprietà dei limiti fin qui viste per determinare il limite (per x tendente a k R) di una funzione polinomiale: y = p(x) = anxn + an 1xn 1 + ... + a1x + a0 Sappiamo che una funzione polinomiale è definita per ogni numero reale quindi: Q per il teorema della somma dei limiti: lim p(x) = lim a n xn + lim a n 1 xn 1 + + lim a 1 x + lim a 0 = x k Q x k x k x k x k x k per il teorema del prodotto dei limiti qualunque sia l esponente abbiamo: n n 1 = a n (lim x) + a n 1 (lim x) x k Q x k per il teorema del prodotto per una costante: = a n lim xn + a n 1 lim xn 1 + +a 1 lim x + lim a 0 = x k Q x k x k + + a 1 lim x + lim a 0 = ; x k x k poiché lim x = k e lim a 0 = a 0: = x k a n kn x k n 1 + a n 1 k + +a 1 k + a 0 = p(k) In conclusione: lim p(x) = a n kn + a n 1 kn 1 + +a 1 k + a 0 = p(k) x k Il risultato ottenuto può essere sintetizzato nel seguente teorema. TEOREMA (limite di una funzione polinomiale) Il limite di una funzione polinomiale, per x tendente al numero reale k, è uguale al valore del polinomio in quel punto. PROVA TU P C Calcola il limite delle seguenti funzioni razionali fratte: 2 x2 3x a. lim _ x 1 x3 + 2 4 x2 + 2x 5 b. lim ___________ x 1 1 x _ 2 esempio O Calcola il limite della funzione razionale fratta: 4 x3 6 x2 8 lim ____________ x 2 x+1 Consideriamo separatamente le funzioni f(x) = 4x3 6x2 8 e g(x) = x + 1 e, applicando il teorema del limite di una funzione polinomiale, abbiamo: lim f(x) = lim 4 x3 6 x2 8 = 4 23 6 22 8 = 0 x 2 FISSA I CONCETTI Il limite di una funzione polinomiale p(x) (per x tendente a k R) è il valore che si ottiene sostituendo k a x. 116 x 2 lim g(x) = lim x + 1 = 2 + 1 = 3 x 2 x 2 Per il teorema del quoziente dei limiti, otteniamo: 4 x3 6 x2 8 0 lim ____________ = _ = 0 x 2 3 x+1