2 Limiti di funzioni reali 5 Le operazioni con Esercizi da pag. 144 i limiti infiniti Nelle pagine precedenti abbiamo preso in considerazione situazioni in cui, almeno uno dei limiti era finito. In questo paragrafo vogliamo estendere le operazioni con i limiti ai casi in cui almeno uno dei due limiti con cui si opera sia infinito. Sussiste il seguente teorema di cui tralasciamo la dimostrazione. TEOREMA (limite della funzione reciproca) 1 Se esiste il lim f(x) = allora esiste il limite lim ___ = 0 x a x a f(x) Questo teorema è, in qualche misura, invertibile con una condizione aggiuntiva infatti: 1 se esiste il lim f(x) = 0 allora esiste il limite lim ___ = x a x a f(x) purché in ogni intorno di a risulti f(x) 0. Il teorema precedente è la base per estendere le proprietà delle operazioni con i limiti anche al caso di limite infinito di una delle due funzioni o entrambe. Indicate con f(x) e g(x) le due funzioni, possiamo affermare che: Q se per x tendente ad a, una sola delle due funzioni tende all infinito, allora la funzione somma y = f(x) + g(x) e la funzione differenza y = f(x) g(x) tendono all infinito, ovvero: lim f(x) = e lim g(x) = l lim (f(x) g(x)) = x a x a ATTENZIONE! A N Nell unità 1 (paragrafo 4) abbiamo visto graficamente la sua applicazione quando abbiamo disegnato il grafico di una funzione 1 y = ___ a partire dal grafico della f(x) funzione y = f(x)). APPROFONDIMENTO A Si dice che y = f(x) è un infinito per x tendente ad a, se il suo limite è . Si dice invece che è un infinitesimo per x tendente ad a se il suo limite è 0: 1 f infinito __ infinitesimo f x a se per x tendente ad a, entrambe le funzioni tendono all infinito, allora sono possibili diversi casi: a. che esista il limite della funzione somma o della funzione differenza e che sia finito; b. che esista il limite della funzione somma o della funzione differenza e che sia infinito; c. che non esista il limite della funzione somma o della funzione differenza. 1 1 Per esempio, per x tendente a 0, sia y = __ sia y = ___ tendono all infinito, ma la x x loro funzione somma, che è la funzione costante y = 0, tende a 0 (caso a.); per 1 1 x tendente a 0, sia y = ___ sia y = ___ tendono all infinito, e anche la loro somma, 2x x 1 ___ che è la funzione y = , tende all infinito (caso b.). 2x Q lim f(x) = Se x a allora Q 1 lim _ = 0 f(x) x a Se due funzioni tendono all infinito, per la funzione somma (o differenza) sono possibili diversi casi: x a TEOREMA (limite della somma di funzioni infinite) Se y = f(x) e y = g(x) tendono entrambe a + o a , per x tendente ad a, anche la funzione y = f(x) + g(x) tende rispettivamente a + o a : lim f(x) = e lim g(x) = lim (f(x) + g(x)) = x a Q se lim f(x) = + Possiamo enunciare il seguente teorema. x a FISSA I CONCETTI x a e lim g(x) = + x a allora: lim (f(x) + g(x)) = + x a se lim f(x ) = x a e lim g(x) = x a allora: lim (f(x) + g(x)) = x a 117