2 Limiti di funzioni reali 6 Il calcolo dei limiti Esercizi da pag. 149 Il teorema del confronto e alcuni limiti notevoli Consideriamo in questo paragrafo alcuni limiti, che sono particolarmente importanti; spesso è infatti possibile ricondursi a essi nel calcolo di altri limiti meno elementari. Per questo completiamo le proprietà, esaminate nei precedenti paragrafi, con due ulteriori teoremi. Il primo teorema che enunciamo, ma non dimostriamo, garantisce che il limite del valore assoluto di una funzione è uguale al valore assoluto del limite della funzione. TEOREMA (limite del valore assoluto) Se esiste il limite lim f(x) = l allora esiste il limite: x a lim |f(x)| = |l | x a Possiamo verificare con un esempio il teorema appena enunciato. Consideriamo la funzione y = x 2 , il cui grafico è una retta parallela alla bisettrice del I e III quadrante passante per (0 ; 2) e consideriamo il limite per x tendente a 1: lim (x 2) = 1 e verifichiamo graficamente che lim |x 2| = | 1| = 1 x 1 x 1 Il secondo teorema stabilisce che se i valori di una funzione h si mantengono sempre compresi tra quelli corrispondenti di altre due, allora se queste due funzioni tendono al limite l per x che tende ad a, a esso tenderà anche la funzione h. Graficamente abbiamo una situazione di questo tipo: y y = x 2 2 y=x 2 O 2 x 2 g y h f l a x TEOREMA (confronto) Se y = f(x), y = g(x) e y = h(x) sono tre funzioni definite nello stesso intorno Ka di a (eccettuato al più a) e se per ogni x Ka (con x a) risulta: Approfondisci Dimostrazione del teorema (confronto) f(x) h(x) g(x) e se è inoltre: lim f(x) = lim g(x) = l x a x a allora risulta anche: lim h(x) = l x a Non è necessario che il grafico sia continuo; è sufficiente che si mantenga sempre tra gli altri due. Il teorema, come altri che abbiamo considerato, ha una validità generale: l può essere un numero reale oppure + o . ATTENZIONE! A Il teorema del confronto è conosciuto scherzosamente in analisi matematica come il teorema dei Carabinieri. Il nome deriva dal fatto che la prima e la terza funzione (i Carabinieri) tengono in mezzo la seconda per condurla al limite comune (la prigione). 123