RELAZIONI E FUNZIONI ULTERIORI PROBLEMI 195 Una grandezza y è inversamente proporzionale al quadrato di una grandezza x, sempre positiva. Esprimi con una formula la legge di dipendenza funzionale ed esamina il comportamento della k funzione all infinito. y = _ ; lim y = 0 [ x2 x ] Un cilindro retto ha il diametro di base uguale alla sua altezza. Esprimi con una formula la legge che dà la superficie laterale in funzione del diametro di base ed esamina il comportamento 2 di tale funzione all infinito. [y = x ; lim y = ] 196 GEOMETRIA x 197 Il prezzo p di una certa merce è dato dal prodotto di una costante positiva k per la somma della quantità q (espressa in litri) più un valore inversamente proporzionale alla quantità q acquistata. Esamina come la formulazione per determinare il prezzo è linguisticamente ambigua e può dar luogo a due diverse leggi funzionali. Esprimi algebricamente tali leggi ed esaminane il comportamento all infinito. h h p = k q + __ , p = kq + __ ; lim p = in entrambi i casi ( ( [ ] q) q) q 198 All interno di una sfera di raggio r è inscritto un cilindro retto in cui è indicato con x il rapporto tra l altezza e il raggio di base. Come varia il volume y del cilindro in funzione del rapporto x? GEOMETRIA Qual è il suo comportamento per x tendente all infinito? A quale situazione geometrica corrisponde? _3_ [y = 8 3r3 x(x2 + 4) 2 ; lim y = 0] x _ x 2 tamente vicine per x tendente a 0? Come è quindi possibile _ approssimare il calcolo dell espressione x + 1 1 per x sufficientemente vicino a 0? 199 Le grandezze y = _ e y = x + 1 1 sono infini- _ x x _ x + 1 1 = 0; con y = __ lim = lim [x 0 2 x 0 2] 200 Può una funzione y = f(x) tendere all infinito per x tendente all infinito, ma non avere alcun asintoto [ ] verticale? Fai degli esempi. 201 Può una funzione y = f(x) avere un asintoto verti- cale di equazione x = k, senza che tenda all infini[ ] to per x tendente a k (con k R)? 202 Può una funzione y = f(x) avere un asintoto orizzon- tale di equazione y = k (con k R), senza che essa tenda a 0 per x tendente a k? Fai degli esempi. [ ] 203 Può una funzione y = f(x) tendere a 0 per x tenden- te a k R senza che abbia la retta y = 0 come suo [ ] asintoto orizzontale? Fai degli esempi. 204 Può una funzione y = f(x) tendere a 0 per x tenden- te a senza che la retta y = 0 sia un suo asintoto [ ] orizzontale? Determina se i grafici delle seguenti funzioni hanno asintoti orizzontali o verticali. esercizio svolto e x2 1 y = ______ x2 9 La funzione è definita per x2 9 0 x 3 Studiamo il comportamento della funzione agli estremi dell insieme di definizione: x2 1 = lim ______ x 3 x2 9 x = 3 è un asintoto verticale x2 1 lim ______ = x = 3 è un asintoto verticale x 3 x2 9 Analizziamo ora l andamento della funzione all infinito: x2 1 = 1 y = 1 è un asintoto orizzontale lim ______ x x2 9 La funzione ha quindi due asintoti verticali, le rette x = 3 e x = 3, e un asintoto orizzontale, la retta y = 1. 1 x 2 3x + 1 206 y = ______ 2x 1 205 y = _____ 148 [y = 0 as. orizz.; x = 2 as. vert.] _3_ _1_ [y = 2 as. orizz.; x = 2 as. vert.] 3x + 2 x 2 x 208 y = ______ 2x 1 207 y = ______ [y = 3 as. orizz.; x = 2 as. vert.] _1_ _1_ [y = 2 as. orizz.; x = 2 as. vert.]