ggere gere di ge Matematica e logica Willard van Orman Quine Bertrand Russell Gottlob Frege I protagonisti della matematica George Boole è stato un matematico e logico inglese (1815-1864). stato professore di matematica dal 1849 al Queen College di Cork. Autore di ricerche sulle equazioni differenziali e sul calcolo delle differenze finite, è tuttavia principalmente noto per i suoi studi di logica matematica che lo pongono a fondatore dell algebra della logica (Analisi matematica della logica, 1847; Un indagine sulle leggi del pensiero, 1854). Egli ha introdotto un nuovo tipo di algebra che da lui ha preso il nome e che ha assunto oggi grande importanza principalmente per le sue applicazioni nella teoria e nell impiego degli elaboratori elettronici. 176 6 Quando due amici discutono non sempre sono d accordo: possono avere intenzioni e gusti diversi, oppure opinioni contrastanti sul mondo o su altre persone. Ognuno esprimerà le motivazioni della propria posizione con un ragionamento: partendo da alcune premesse argomenterà come ricavare le conseguenze che costituiscono la sua opinione. Ma come stabilire se il suo ragionamento è corretto o meno? Questo è il compito della logica che, fin dall antichità, è la disciplina il cui obiettivo è proprio stabilire metodi, procedure per verificare la correttezza di un ragionamento. In matematica, la logica ha l espressione principale nella deduzione dei teoremi, spesso in ambito geometrico, a partire da un insieme di assiomi che definiscono l universo in cui tali teoremi hanno significato. Dedurre è in matematica sinonimo di dimostrare: gli assiomi definiscono quali siano gli oggetti di cui si sta parlando e le loro reciproche caratteristiche che si accettano come fondamentali; le regole di deduzione sono le regole logiche che permettono di passare da una affermazione vera a un altra affermazione vera; la catena deduttiva che così si costruisce parte dagli assiomi e giunge al teorema che è così dimostrato. La forma strettamente matematica della logica o come si usa dire la logica matematica si sviluppò a partire dalle formalizzazioni dei logici medioevali. Il momento di maggiore consapevolezza si trova nel pensiero del filosofo Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) che introdusse un linguaggio simbolico universale (da lui chiamato characteristica universalis) per i ragionamenti e di cui abbiamo già ricordato, nella precedente lettura, la famosa affermazione su come dirimere controversie tra filosofi, attraverso l uso degli abachi e l esortazione : «Calcoliamo! . La logica matematica vera e propria nasce però alla metà del XIX secolo con il matematico inglese George Boole (1815-1864) che, nella sua opera Analisi matematica della logica (1847), fece ricorso ai simboli dell aritmetica e dell algebra per trattare sia le proposizioni sia le operazioni eseguite su di esse, utilizzando per primo i numeri 1 e 0 per indicare «vero e «falso , anticipando il sistema binario che sta alla base del funzionamento dei moderni computer. Egli introdusse così un vero e proprio calcolo logico, chiarendo come la validità di un procedimento non risiede in alcuna possibile interpretazione dei simboli, ma unicamente nelle leggi che li combinano tra loro. Gli sviluppi successivi della logica sempre più ne accentuarono la caratteristica formale: nella seconda metà del secolo XIX si sviluppò la riflessione della logica sulle sue stesse procedure. La sistemazione della logica stessa, da parte di Gottlob Frege (1848-1925) nella sua opera Begriffsschrift (Scrittura per concetti, 1879), già citata nel precedente inserto di letture, rappresentò un momento centrale nella logica moderna, tale da renderla paragonabile, nella storia di questa disciplina, all opera dello stesso Aristotele, sebbene non venne riconosciuta come tale dai suoi contemporanei. Fu da questi studi della fine del XIX secolo che lo sviluppo della logica formale si accompagnò alla riflessione della stessa matematica: sui suoi oggetti, sui suoi metodi, sulla fondatezza delle procedure. Da un lato, la logica assunse sempre