ggere gere di Se indichiamo con K l insieme di tutti gli insiemi che non appartengono a sé stessi (K = {x | x x}), si pone il problema: K appartiene o no a sé stesso? Se K appartiene a sé stesso, allora, per la definizione, K ha la proprietà di non avere sé stesso tra i suoi elementi; K perciò non appartiene a sé stesso: K K K K Se invece K non appartiene a sé stesso, allora, per definizione, ha la proprietà di avere sé stesso tra i suoi elementi; K perciò appartiene a sé stesso: K K K K Nel 1918 Bertrand Russell propose una versione figurata della sua antinomia. Essa è nota come paradosso del barbiere: «In un paese vi è un solo barbiere, che non porta la barba. Egli rade tutti e soli gli uomini del paese che non si radono da soli. Il barbiere rade sé stesso? Esaminiamo allora alcuni paradossi, in un testo del logico Willard van Orman Quine (1908-2000), che sintetizza il ruolo che i paradossi hanno nella logica matematica. Egli scrive: «Di tutti i tratti dei paradossi, il più bizzarro è forse la loro capacità all occasione di rivelarsi meno frivoli di quanto appaiono . Nel saggio da cui è tratto il brano che qui riportiamo, Quine distingue i paradossi in veridici, che esprimono una verità, in genere attraverso un ragionamento per assurdo, falsidici che sono tali perché partono da premesse fallaci, e antinomie che producono un autocontraddizione pur seguendo un metodo di ragionamento accettabile. Sono proprio questi ultimi quelli che producono una nuova sistemazione concettuale, una nuova caratterizzazione di teorie che precedentemente apparivano consistenti e ben sistematizzate. F ederico, il protagonista de I pirati di Penzance, è giunto all età di ventun anni, dopo cinque soli compleanni. Varie circostanze concorrono a rendere ciò possibile. L età si calcola secondo il tempo trascorso, mentre un compleanno deve corrispondere alla data di nascita; e il 29 di febbraio ricorre meno frequentemente di una volta all anno. Visto che la situazione di Federico è possibile, in che cosa è paradossale? Semplicemente nella sua aria iniziale di assurdità. La verosimiglianza che un uomo abbia più di n anni al suo n-esimo compleanno è soltanto di 1 a 1460, o poco di più se teniamo conto degli andamenti stagionali; e questa verosimiglianza è così tenue che ne dimentichiamo facilmente l esistenza. Possiamo quindi dire in generale che un paradosso è soltanto qualsiasi conclusione, che sembra a prima vista assurda, ma che ha un argomento a sostenerla? Penso che in fin dei conti questa caratterizzazione si giustifichi abbastanza bene. Ma rimane ancora molto da dire. L argomento a sostegno di un paradosso può svelare l assurdità di una premessa nascosta, o di qualche preconcetto che si era precedentemente accolto come fondamentale per la teoria fisica, matematica, o il processo del pensiero. La catastrofe può quindi stare in agguato nel paradosso dall aria più innocente. Più di una volta nella storia, la scoperta di un paradosso è stata l occasione per una sostanziale ricostruzione dei fondamenti del pensiero. [ ] Come primo passo su questo pericoloso terreno, consideriamo un altro paradosso: quello del barbiere del villaggio. Questo non è il grande paradosso di Russell dei 1901, ma uno minore che Russell attribuì a una fonte anonima del 1918. In un certo villaggio c è un uomo, così procede il paradosso, che fa il barbiere; costui rade tutti e soltanto gli uomini del villaggio che non si radono da soli. Domanda: il barbiere rade sé stesso? Qualunque uomo del villaggio viene rasato dal barbiere se e solo se non si rade da solo. Quindi in particolare il barbiere rade sé stesso se e solo se non lo fa. Siamo nei guai sia se diciamo che il barbiere si rade da solo, sia se diciamo che non lo fa. 178 8