SINTESI ATTIVA SAPERE lessico Definisci il significato dei seguenti termini. funzione continua in un punto funzione continua in un intervallo punto di discontinuità discontinuità eliminabile permanenza del segno intervallo chiuso e limitato funzione limitata estremo inferiore minimo estremo superiore massimo funzione composta funzione inversa simboli Associa le frasi alle corrispondenti espressioni in simboli. Scrivi nella casella la lettera opportuna. 1. La scrittura sintetica che esprime il fatto che una funzione y = f(x) è continua nel punto a = 3 A. y = lnx 2. Una funzione che non è continua in alcun punto B. [ 1 ; + ) 3. Una funzione il cui insieme di definizione non sia tutto R, ma che sia continua in tutto il suo insieme di definizione C. y = 4. Un intervallo di R che abbia un minimo, ma non sia limitato superiormente D. lim f(x) = f(3) 5. Un intervallo chiuso e limitato E. y = sen2 x 6. La funzione composta y = f(g(h(x))), essendo f(x) = x2, g(x) = senx, h(x) = x 0 se x Q {1 se x R Q x 3 _ _ F. [ 1 ; 3] SAPER FARE Esercizio Obiettivo 1. Stabilisci per quali valori di x la funzione y = tanx non è continua. 2. Stabilisci per quali valori di k la seguente funzione è continua in tutto R: Paragrafo 1 y = {k x se x > 0 x 1 altrimenti 3. Si sa che f, g, h sono funzioni continue in tutto R. Quali delle seguenti funzioni sono allora sicuramente continue in tutto R? Fai degli esempi: a. f + g h c. |f g| f__ b. d. (f g h)2 g 1 4. Stabilisci per quali valori non è definita la funzione y = ____. In quali tanx di tali punti la discontinuità è eliminabile e in quali non è eliminabile? 5. In ognuno dei seguenti casi considera la funzione f nell intervallo I indicato. Determina f(I) e stabilisci se tale insieme è limitato o illimitato, se vi sono l estremo superiore, l estremo inferiore, il massimo o il minimo di f(I). x a. y = x2 3x I = [2 ; 8] c. y = _____ I = ( 3 ; 0) x 2 x b. y = ln(x) I = [e ; 3) d. y = e I = (0 ; 4] 182 Stabilire se una funzione è continua in un punto, in un intervallo, nel suo insieme di definizione. Distinguere i diversi casi di discontinuità di una funzione. Individuare gli intervalli di continuità di alcune classi di funzioni: razionali (intere o frazionarie), irrazionali, goniometriche, esponenziali e logaritmiche. Individuare gli intervalli nei quali una funzione è continua. Paragrafo 2 Applicare alcuni teoremi sulle funzioni continue: teorema di esistenza degli zeri, teorema di Bolzano, teorema di Weierstrass.