RELAZIONI E FUNZIONI Esercizi da pag. 000 4 Le primitive di una funzione Consideriamo ora il problema inverso di quello del precedente paragrafo: una funzione può essere la derivata di qualche altra funzione? E di quale? Ed è unica la funzione da cui discende? My English lesson La funzione primitiva page 228 Sappiamo che se y = f(x) è continua e definita in un intervallo e in tale intervallo esiste la sua funzione derivata y = f (x), questa fornisce i valori dei coefficienti angolari delle tangenti al grafico della funzione. Ma, qualunque sia k R, il grafico della funzione y = f(x) + k ha lo stesso andamento altimetrico di quello di y = f(x), essendo semplicemente traslato rispetto a esso di vettore v = (0 ; k). f f x4 x1 x2 x3 x1 x2 x3 x4 Tutte le funzioni disegnate a sinistra hanno come funzione derivata quella disegnata nel grafico a destra. In corrispondenza di ogni valore di x, perciò, il coefficiente angolare della tangente al grafico di y = f(x) è uguale al coefficiente angolare della tangente al grafico di y = f(x) + k. Abbiamo, per ogni k R: D(f(x)) = D(f(x) + k) Se, quindi, y = m(x) è la derivata di una funzione, vi sono allora infinite funzioni di cui essa è la funzione derivata. DEFINIZIONE KEYWORDS K fu funzione primitiva / primitive function Si chiama funzione primitiva di f(x), e si indica con P(f(x)), ognuna delle funzioni la cui derivata è la f(x) stessa: D(P(f(x))) = f(x) esempio FISSA I CONCETTI Q Q D(f ) = D(f + k), k R Funzione primitiva di f(x): ogni funzione la cui derivata è f(x). 224 O La funzione y = x2 è una primitiva della funzione y = 2x poiché questa funzione è la sua derivata. Infatti: 2x x + ( x)2 (x + x)2 x2 D (x2) = lim ____________ = lim __________ = lim 2x + x = 2x x 0 x 0 x 0 x x