1 Funzioni reali y APPROFONDIMENTO A P O 1 x Il precedente ragionamento può essere invertito. Una funzione ax + b del tipo y = _ con c 0 e a d c b può sempre essere cx + d riportata, con un opportuna traslazione, a una funzione del tipo k y = __. Il suo grafico è, quindi, un iperbole con asintoti paralleli x agli assi cartesiani. ax + b Una funzione del tipo y = ______ può essere ricondotta a cx + d k_ _ una funzione del tipo y = , se a d c b e se c 0, x d a tramite la traslazione di vettore v = (__ ; __). c c ax + b Se c = 0 la funzione diventa y = ______ che può essere d a b scritta come y = __ x + __ e quindi il suo grafico è una retta. d d a d Se c 0 e a d = c b, ricavando b = ____ e sostituendo c nell espressione, la funzione può essere scritta come: (cx + d) ad ax + ___ a _______ a (cx + d) c c _______ ________ y= y= y = ________ cx + d cx + d c (cx + d) a Semplificando per (cx + d) otteniamo la funzione y = __ il c d cui grafico è quello di una retta privata del punto x = __. c Le equazioni degli asintoti ax + b Possiamo ricavare dall espressione algebrica di una funzione y = _ le cx + d equazioni dei due asintoti del suo grafico e, quindi, il suo centro di simmetria. Abbiamo l asintoto verticale in corrispondenza del valore di x per il quale la funzione non è definita (e il grafico ha, quindi, un punto di discontinuità). Dobbiamo allora stabilire per quale valore di x si annulla il denominatore: d x = __ c L asintoto orizzontale può essere individuato attraverso alcune trasformazioni algebriche dell espressione della funzione. Mettiamo in evidenza x (con x 0), a numeratore e a denominatore, e semplifichiamo: cx + d = 0 b b x(a + _) a + _ x x y=_=_ d d _ _ x(c + ) c + x x b d Se x tende a diventare sempre più grande, sia __ sia __ tendono ad avvicinarsi semx x pre più a 0 e sono ininfluenti nelle rispettive somme algebriche. Il valore della a funzione tende perciò a diventare costante e uguale ad __, cioè al rapporto tra i c due coefficienti della variabile x: a la retta y = __ è l asintoto orizzontale del grafico della funzione. c ATTENZIONE! A Via via che x diventa più grande, Vi b d i due quozienti __ e __ tendono a x x diventare sempre più piccoli: b e d sono infatti due valori costanti e sono divisi per un numero sempre più grande. Al tendere di x all infinito tendono perciò a 0. ax + b Riassumendo, per la funzione y = _ , con c 0 e a d b c, abbiamo cx + d stabilito che: d Q l insieme di definizione è x R x __ ; { c} d Q l equazione dell asintoto verticale del suo grafico è x = __; c a Q l equazione dell asintoto orizzontale del suo grafico è y = __; c d a Q il centro di simmetria del suo grafico è il punto C di coordinate __ ; __ . ( c c) 25
