RELAZIONI E FUNZIONI La derivata delle funzioni seno e coseno Anche le funzioni y = senx e y = cosx sono due funzioni elementari dalle quali è possibile costruire altre funzioni goniometriche. Per questo ricerchiamo le loro rispettive funzioni derivate, utili a costruire le derivate di funzioni più complesse. TEOREMA (derivata della funzione seno) La funzione y = senx è sempre derivabile in R. La sua derivata è la funzione y = cosx. Dimostrazione La funzione y = senx è sempre definita e continua in R. Per un qualunque valore x0, consideriamo il limite del rapporto incrementale al tendere a 0 dell incremento di x0. Abbiamo: sen(x 0 + h) sen x lim ________________0 = h 0 h (applicando la formula di addizione del seno) sen x 0 cosh + cos x 0 senh sen x 0 = lim ___________________________ = h 0 h (raccogliendo a fattore comune senx0 tra il primo e il terzo termine) sen x 0(cosh 1) + cos x 0 senh = lim _________________________ = h 0 h cosh 1 senh = lim(sen x 0 ________ + cos x 0 ____) h 0 h h Per le proprietà dei limiti e ricordando i due limiti fondamentali: ATTENZIONE! A P Poiché la derivata della funzione in un punto è un particolare limite finito, nello stabilire le proprietà della derivata possiamo utilizzare quelle dei limiti. senh cosh 1 lim _ = 1 e lim _ = 0 h 0 h h abbiamo: sen(x 0 + h) sen x 0 lim _________________ = sen x 0 0 + cosx0 1 = cos x 0 h 0 h Per ogni x R tale limite esiste ed è finito. Quindi, la funzione y = senx è sempre derivabile in R e la sua derivata è y = cosx. c.v.d. h 0 Dal teorema dimostrato ricaviamo che la funzione y = cosx esprime in ogni punto il corrispondente tasso di variazione istantaneo della funzione y = senx. La funzione y = cosx indica quindi, l inclinazione della tangente della funzione y = senx. m=1 m=0 1 2 2 1 m=0 262 1 3 2 1 2 2 1