ggere gere di ge Dalla logica formale alla logica del calcolabile da Kurt G del ad Alan Mathison Turing Il tramonto di una ipotesi La possibilità di una compiuta formalizzazione della logica in termini matematici che, come si è visto nelle precedenti letture ha contrassegnato una tendenza importante tra la fine del XIX secolo e i primi decenni di quello successivo richiedeva la rigorosa definizione degli oggetti elementari della matematica stessa. Nel tuo percorso di studio avrai osservato il ruolo fondamentale che hanno i numeri naturali: è a partire da essi e dalle loro possibili operazioni che abbiamo progressivamente esteso l insieme numerico di riferimento utile per risolvere problemi via via più complessi. A partire da N siamo così passati all insieme Z dei numeri interi, poi all insieme Q dei razionali e all insieme R dei numeri reali. E abbiamo anche osservato come tale insieme non esaurisca le necessità di calcolo perché abbiamo accennato che è possibile costruire un insieme più ampio detto insieme dei numeri complessi e indicato con C che contiene l insieme dei numeri reali al suo interno. Un coerente sistema di definizione dell insieme N è, quindi, la pietra miliare su cui costruire l intero edificio. Un tale sistema venne formulato dal matematico italiano Giuseppe Peano (1858-1932) nella sua opera dal titolo latino Arithmetices principia, nova methodo exposita del 1889. Negli stessi anni anche Richard Dedekind (1831-1916) ne aveva dato un analoga formulazione. Gli assiomi di Peano per la definizione dei numeri naturali sono i seguenti 5: 0 è un numero naturale, se n è un numero naturale, allora lo è anche il suo successivo, due numeri naturali diversi hanno i rispettivi successivi diversi, ogni numero naturale, eccettuato 0, è successivo di un altro numero naturale, se una proposizione P è vera per 0 e se si dimostra che, qualunque sia il numero naturale k, se è vera per k allora è vera anche per il suo successivo k , allora la proposizione P è vera per ogni numero naturale. Ogni insieme per il quale valgono i cinque assiomi di Peano può essere visto come un modello dell insieme dei numeri naturali. La centralità dell aritmetica nella matematizzazione della logica portò un grande logico del Novecento, Kurt G del (1906-1978) a definire un sistema di codifica di una qualsiasi espressione logica in termini di numeri naturali, secondo un metodo laborioso, ma assolutamente univoco per il quale a ogni formula ben formata (cioè sintatticamente corretta) è assegnato un numero di G del e viceversa da un dato numero di G del è possibile risalire alla formula che esso rappresenta; inoltre a ogni sequenza di formule quale è una dimostrazione è associato un particolare numero e viceversa. L aritmetica diviene così, nell impostazione codificata di formule e loro trasformazioni, lo strumento di formalizzazione della logica e del suo modo di procedere (per questo, il metodo usato da G del di assegnare univocamente un numero a ogni formula e a ogni dimostrazione è detto aritmetizzazione). 282 2
